загрузка...
 
2.6.1.Коефіцієнт готовності
Повернутись до змісту

2.6.1.Коефіцієнт готовності

Оскільки технологічна система є об’єктом з відмовами, що усува­ються в процесі його експлуатації, то у найпростішому випадку можна виділити два стани цієї системи:

працездатний стан 0, коли технологічна система функціонує і ви­пускає продукцію, ймовірність знаходження в якому дорівнює Р0 ;

непрацездатний стан 1, коли технологічна система не функціонує че­рез роботи з усунення відмови, ймовірність знаходження в якому дорів­нює Pi

Технологічна система може змінювати свій стан у будь-який момент часу. Перехід технологічної системи із одного стану в інший відбувається практично моментально, у випадкові моменти виходу з ладу технологіч­ної системи чи завершення її відновлення. Сума ймовірностей знаход­ження системи в усіх зазначених n станах дорівнюватиме одиниці, тобто

що дає для технологічної системи із двома можливими станами

Перехід системи із одного стану в інший називається подією. По­слідовність однорідних подій, що відбуваються одна за одною у випад­кові моменти часу, створює потік випадкових подій. Оскільки можливі стани технологічної системи перелічені, а моменти можливих переходів із одного стану в інший не фіксовані і можуть настати в будь-який час, то процес функціонування являтиме собою марковський випадковий про­цес із дискретними станами і безперервним часом. Випадковий потік подій, який має властивості стаціонарності, ординарності, та не має післядії, буде найпростішим, або стаціонарним пуасонівським потоком.

Аналізуючи випадкові процеси із дискретними станами технологіч­ної системи, використаємо для зручності граф станів, у якому стани по­значаються вершинами графа, а переходи із одного стану в інший — його дугами (рис. 2.13).

Нехай система в момент часу і перебувала в стані 0. Ймовірність того, що за малий проміжок часу  вона пе­рейде у стан l, позначимо . Ця ймовірність буде ймовірні­стю появи відмови у функціону­ванні технологічної системи, а потік випадкових подій являтиме собою потік відмов. Тоді щіль­ність ймовірності або інтенсивність цього переходу визначиться як

При малих значеннях  матимемо спрощене співвідношення

Беручи до уваги, що час функціонування технологічної системи може вимірюватись у циклах, позначивши ймовірність невиконання одного циклу ?, отримаємо для ймовірності цього переходу

Якщо тривалість переходів технологічної системи із стану 0 в стан 1 розподілиться за експоненційним законом, то густина ймовірності пе­реходу збігатиметься з параметром експоненційного закону розподілу ? = ?. Потік відмов вважається безперервним, оскільки функціонування технологічної системи розглядається упродовж багатьох циклів N. тобто тривалий час, порівняно з яким тривалість одного робочого циклу Т є безмежно малою величиною. У цьому випадку виконується умова

Тоді параметр потоку відмов визначиться як

де  — середній час між двома відмовами, виражений кількістю робо­чих циклів.

Ймовірність того, що за малу кількість циклів ?N технологічна сис­тема перейде із стану 1 в стан 0, позначимо . Вона характеризує ймовірність відновлення функціонування технологічної системи, а потік випадкових подій буде потоком відновлень. Час відновлення працездат­ності технологічної системи є також випадковою величиною, тому інтен­сивність відновлення визначиться як

де - середній час відновлення працездатності технологічної систе­ми, виражений кількістю технологічних циклів.

Щоб визначити ймовірність перебування технологічної системи в момент часу N в j-му стані, сформуємо систему диференційних рівнянь Колмогорова за формальними правилами. У лівій частині кожного рівняння записується похідна по часу, вираженому в циклах, від ймовір­ності знаходження технологічної системи в j-му стані в момент реалі­зації якогось циклу, а в правій — члени, що відповідають дугам, які з’єднують вершину даного стану з іншими. Кожен член дорівнює до­буткові інтенсивності переходу (? чи µ) на ймовірність того і-го стану, із яким зв’язана дуга графа. Якщо ця дуга входить у даний стан, то знак добутку додатний, якщо виходить — то від’ємний.

Для технологічної системи, граф якої представлений на рис. 2.13, отримаємо

Якщо розглядати усталений режим довготривалого функціонуван­ня ТЄХНОХОГІЧНОЇ системи, тобто при , ТО всі похідні можуть бути прирівняні до нуля і система диференційних рівнянь перетвориться на систему алгебраїчних:

 

 

Ці рівняння дають змогу визначити коефіцієнт готовності техноло­гічної системи Kr як ймовірність P0 перебування технологічної системи в працездатному стані у будь-який момент часу при усталеному режимі функціонування:

2.6.2. Коефіцієнт готовності при стійких відмовах і збоях

Відмови технологічної системи за характером їх усунення можуть бути поділені на дві групи:

стійкі відмови з інтенсивністю ?1, для усунення яких необхідно зу­пинити функціонування технологічної системи і здійснити відновні роботи з інтенсивністю µ1;

збої з інтенсивністю ?2, що самоусуваються з інтенсивністю µ2 при подальшому функціонуванні технологічної системи без зупинки.

Розмічений граф станів технологічної системи зі стійкими відмова­ми та збоями показано на рис. 2.14. Вершини графа відповідають таким станам: 0 — технологічна система працює безвідмовно та без збоїв; 1 — технологічна система відновлюється після стійкої відмови; 2 — техно­логічна система самовідновлюється після збою.

Система рівнянь Колмогорова для сталого режиму функціонування набуде такого вигляду:

Тоді вираз для коефіцієнта готовності матиме такий вигляд:

Врахувавши, що  отримаємо

 

При функціонуванні технологічної системи найбільш поширеним видом збою є виготовлення бракованого виробу. В цьому випадку час відновлення технологічної системи відповідатиме тривалості одного робочого циклу Т. Інтенсивність відновлення, виражена в циклах робо­ти, відповідатиме одиниці, тобто  Враховуючи також, що ймовір­ність появи збою в добре відлагодженій технологічній системі набагато менша від одиниці, тобто ?2 « 1, отримаємо вираз для коефіцієнта готовності по збоях



загрузка...