3.3.Однофакторний експеримент 3.3.1.Види зв'язків між двома величинами
Зв’язок між вхідною та вихідною змінними, що входять у досліджувану залежність, може мати різний характер залежно від впливу випадкових збурень. У практиці трапляються такі випадки.
Функціональний, або детермінований зв ’язок, коли кожному значенню вхідної величини відповідає єдине значення вихідної. При такому зв’язку впливом випадкових збурень можна знехтувати (рис. 3.4, а). Функціональна залежність матиме вигляд y = f(x).
Стохастичний, або ймовірнісний зв ’язок між двома величинами виникає, коли одна з них змінюється при зміні закону розподілу іншої. Стохастичний зв’язок (рис.3.4,б) буває кореляційний або скедастичний. Якщо при зміні однієї величини змінюється тільки середнє значення іншої, а дисперсія та тип закону розподілу залишаються без зміни, то виникає кореляційний зв ’язок (рис. 3.4, в) як, наприклад, при зміні налагоджувального розміру токарного автомата, зміщується положення центра розсіяння діаметра деталей. Якщо ж змінюється тільки ступінь розсіяння значень, тобто дисперсія, при незмінних середніх арифметичних, то це скедастичний зв ’язок (рис. 3.4, г), який виникає, наприклад, при прицільному падінні тіл залежно від висоти, коли зі збільшенням висоти падіння ступінь розсіяння місць падіння навколо прицільного значення зростає.
Змінні величини, що описують процеси в технологічних системах, як звичайно, зв’язані між собою стохастичними залежностями, оскільки такі системи функціонують в умовах сильної дії випадкових збурень. Елементами стохастичних залежностей є випадкові величини, які в процесі вимірювань набувають невідомих наперед значень. Тому дослідження технологічних систем ускладнюється необхідністю знайти залежності у чистому вигляді, відсіявши вплив випадкових збурень. Для цього використовуються загальновідомі методи математичної статистики, в основу яких покладено багаторазове повторення досліду в однакових умовах і визначення за результатами математичного очікування випадкової величини та її дисперсії.
Нехай дія вхідного факторах зумовлює реакцію об’єкта у. Повторимо n разів дослід, задаючи величині x одне і те ж значення. Показнику як випадкова величина набуватиме значень у1,у2,... уn. Математичне сподівання значення цього показника М(у) знайдемо як середнє арифметичне всіх його виміряних значень
Очевидно, що точність визначення середнього значення буде тим вища, чим більша проведена в однакових умовах кількість дослідів. Точність середнього значення випадкової величини пов’язана зі ступенем розсіяння її значень, що визначається дисперсією D(y):
При експериментальному дослідженні та побудові моделі досліджуваного процесу чи явища необхідно знайти залежність між двома величинами — вхідною та вихідною. При дослідженні реальних технологічних систем вигляд залежності між двома випадковими величинами майже завжди невідомий. У нашому розпорядженні є тільки результати певної кількості дослідів, наприклад n. На графіку ця залежність між випадковими величинами матиме вигляд хмарки точок, що відповідатимуть експериментальним даним. Для побудови математичної залежності між двома змінними величинами одна з цих величин, наприклад, фактор х отримує ряд послідовних значень х1, х2,.... Кожне з цих значень називається рівнем фактора. На кожному з цих рівнів дослід повторюється декілька разів, тобто здійснюються так звані паралельні досліди. Для першого рівня, наприклад, матимемо х11, х12, х1З, .... Тоді для кожного рівня фактора знаходять середнє значення іншої змінної величини — показника Якщо ці значення показати на графіку y=f(x) та з’єднати середні значення у ламаною лінією, то утвориться емпірична лінія регресії (рис. 3.5). При збільшенні кількості спостережень на кожному рівні фактора та зменшенні кроку між сусідніми факторами ламана лінія починає вирівнюватись і набувати закономірного характеру. В цьому випадку зростає точність визначення дійсної залежності, яка описується теоретичною лінією регресії.
Термін регресія вказує на стохастичний зв’язок між випадковими величинами. Він належить одному із творців математичної статистики — Френсісу Гальтону. Вивчаючи статистичну залежність між зростом батьків та дітей, він шляхом добору математичної моделі з’ясував, що зріст дитини наполовину визначається зростом батьків, на чверть — зростом прадідів, на 1/8 — зростом прапрадідів і т. д. Тобто в моделі Гальтона зріст дитини визначається зростом не тільки батьків, але й більш віддалених предків. Оскільки в цій моделі здійснюється в історичному часі рух назад, то це явище було названо регресією, яка визначає рух назад, на відміну від прогресу, тобто руху вперед.
Теоретичною основою визначення залежності між величинами в умовах дії випадкових збурень є кореляційний аналіз. Його методи дають змогу розв’язати дві основні задачі: визначити форму та числові коефіцієнти залежності, що зв’язує між собою параметри досліджуваного процесу чи явища; визначити, наскільки тісно зв’язані ці параметри.
3.3.2.Визначення форми і числових значень коефіцієнтів залежностей
Залежність y=f(x) визначають за два етапи: на першому вибирають вид зв’язку між параметрами залежності, а на другому знаходять числові значення коефіцієнтів цієї залежності.
Вид взаємозв’язку параметрів, що входять у залежність у = f(x), може бути визначений:
вивченням фізичного змісту явища, використанням аналогії з іншими науковими теоріями, результатом чого є аналітична побудова загальної моделі, коефіцієнти якої знаходять експериментально;
побудовою емпіричної лінії регресії при великій кількості паралельних дослідів, яка буде наближеною до теоретичної лінії регресії, тобто теоретичної залежності, та добору полінома, який найкращим чином відповідав би експериментальним даним.
Поліном, або багаточлен — функція, в якій змінні величини беруть участь лише добором у діях додавання, віднімання та множення (враховуючи піднесення до цілого додатного степеня). Для апроксимації теоретичної залежності поліноми застосовують найчастіше. Це зумовлено, по-перше, тим, що поліноми описують великий клас безперервних функцій, а по-друге, тим, що поліноми є найбільш простими функціями.
Для практичного застосування точність, із якою визначається теоретична залежність, залежить від умов задачі. Для характеристики точності наближення полінома до дійсної залежності введемо поняття поля допуску на функцію. Для його отримання теоретичну залежність змістимо вверх і вниз на половину величини допуску ? (рис. 3.5), тоді площа між цими крайніми положеннями визначить поле допуску. Очевидно, що будь-яка крива, що лежатиме всередині цього поля, може використовуватись для опису залежності між змінними величинами із точністю ?. А це означає, що для опису будь-яких залежностей можна використовувати клас структурно найбільш простих функцій, а саме поліномів або багаточленів. Будь-який багаточлен можна скласти із простих степеневих функцій у вигляді
Кожна із степеневих функцій є елементом багаточлена. Ступінь наближення полінома до теоретичної лінії регресії характеризується числом його членів, кількість яких легко підбирається шляхом послідовного доповнення вже використаних членів новими. В основу цієї методики покладена теорема відомого німецького математика Карла Вейєрштраса:
Якою б складною не була безперервна функція і яким малим ми не вибрали б поле допуску на неї, завжди знайдеться багаточлен, що не відрізнятиметься за заданою точністю від заданої функції.
Очевидно, що чим вища точність опису теоретичної залежності потрібна, тим більш високий ступінь полінома використовується для її опису. Тому в практиці спочатку використовують лінійний поліном, тобто лінійну модель залежності. Якщо ж перевірка адекватності моделі показує, що вона не відповідає експериментальним даним, то модель добудовують до квадратичної, потім, якщо необхідно, — до кубічної, і так далі аж до отримання позитивного результату перевірки на адекватність. Ця процедура називається ідентифікацією моделі.
Визначення числових значень коефіцієнтів. Крива, що описує залежність відомої форми, повинна найкращим чином відповідати експериментальним точкам, тобто бути найбільш близькою до них. Близькість точки до кривої визначається ординатою її відстані від неї. Оскільки відхилення може бути додатним або від’ємним, то для оцінки наближеності експериментальних точок до кривої використовується квадрат цієї відстані. Ця умова покладена в основу наукового методу пошуку коефіцієнтів залежності, названого методом найменших квадратів, і має такий вигляд:
де ? — різниця між експериментальним у та розрахунковим у* значеннями показника; N— кількість експериментальних точок.
Розглянемо найпростішу — лінійну залежність y =f(х) такого вигляду:
b0 та b — невідомі коефіцієнти залежності, значення яких знаходять за даними дослідів.
Нехай результатами дослідів буде N експериментальних точок із координатами (хр у{)9 (х2,у2),(х^ук). Тоді для кожної експериментальної точки різниця між експериментальним та розрахунковим значенням показника визначиться як
(рис. 3.6):
Виходячи із основної умови методу найменших квадратів, отримаємо рівняння найменших квадратів у вигляді
Невідомими величинами в рівнянні найменших квадратів будуть коефіцієнти b0, Ь. Умови мінімізації цієї функції такі:
Тоді
Розв’язавши цю систему із двох рівнянь, що мають два невідомі b0 та b, отримаємо лінійну залежність, яка відповідає експериментальним точкам.
Приклад. При аналізі залежності між відхиленням від круглості заготовок х та відхиленням від круглості оброблених на токарному верстаті деталей у отримано такі дані:
X, мкм
42
35
75
90
137
115
y, мкм
10
8
24
35
50
40
Аналіз дослідних даних показує, що в першому наближенні можна використати лінійну залежність у = b0 + Ь*х. Знайдемо її коефіцієнти b0 та Ь методом найменших квадратів. Результати обчислень зведемо в табл.3.4.
Підставивши отримані в табл. 3.4 дані в систему рівнянь, запишемо
Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо значення коефіцієнтів, із якими лінійна залежність набуде вигляду
Якщо показник технологічного процесу залежить від декількох факторів, тобто
то для визначення коефіцієнтів багаточлена необхідно скласти (n+1) рівнянь. Систему рівнянь запишемо таким чином:
Розвязуючи цю систему рівнянь, знаходять числові значення коефіцієнтів полінома.
Розглянемо знаходження числових значень коефіцієнтів для випадку нелінійної, наприклад, отриманими прирівнюванням до нуля похідних функцій найменших квадратів F:
Система рівнянь має такий вигляд:
Окрім лінійної і квадратичної залежності, в практичних задачах часто трапляються інші залежності. При гіперболічній залежності
система нормальних рівнянь для визначення коефіцієнтів методом найменших квадратів має такий вигляд:
У деяких випадках визначення коефіцієнтів вихідної залежності може бути спрощене шляхом заміни змінних. У технології машинобудування, наприклад, часто трапляються степеневі залежності
Після логарифмування та заміни змінних отримаємо лінійну залежність, коефіцієнти якої визначаться за вже розглянутими виразами, тобто