загрузка...
 
3.3.Однофакторний експеримент 3.3.1.Види зв'язків між двома величинами
Повернутись до змісту

3.3.Однофакторний експеримент 3.3.1.Види зв'язків між двома величинами

Зв’язок між вхідною та вихідною змінними, що входять у досліджу­вану залежність, може мати різний характер залежно від впливу випад­кових збурень. У практиці трапляються такі випадки.

Функціональний, або детермінований зв ’язок, коли кожному значен­ню вхідної величини відповідає єдине значення вихідної. При такому зв’язку впливом випадкових збурень можна знехтувати (рис. 3.4, а). Функціональна залежність матиме вигляд y = f(x).

Стохастичний, або ймовірнісний зв ’язок між двома величинами ви­никає, коли одна з них змінюється при зміні закону розподілу іншої. Сто­хастичний зв’язок (рис.3.4,б) буває кореляційний або скедастичний. Якщо при зміні однієї величини змінюється тільки середнє значення іншої, а дисперсія та тип закону розподілу залишаються без зміни, то виникає кореляційний зв ’язок (рис. 3.4, в) як, наприклад, при зміні налагоджуваль­ного розміру токарного автомата, зміщується положення центра розсіян­ня діаметра деталей. Якщо ж змінюється тільки ступінь розсіяння зна­чень, тобто дисперсія, при незмінних середніх арифметичних, то це ске­дастичний зв ’язок (рис. 3.4, г), який виникає, наприклад, при прицільно­му падінні тіл залежно від висоти, коли зі збільшенням висоти падіння ступінь розсіяння місць падіння навколо прицільного значення зростає.

Змінні величини, що описують процеси в технологічних системах, як звичайно, зв’язані між собою стохастичними залежностями, оскіль­ки такі системи функціонують в умовах сильної дії випадкових збурень. Елементами стохастичних залежностей є випадкові величини, які в про­цесі вимірювань набувають невідомих наперед значень. Тому дослід­ження технологічних систем ускладнюється необхідністю знайти залеж­ності у чистому вигляді, відсіявши вплив випадкових збурень. Для цьо­го використовуються загальновідомі методи математичної статистики, в основу яких покладено багаторазове повторення досліду в однакових умовах і визначення за результатами математичного очікування випад­кової величини та її дисперсії.

Нехай дія вхідного факторах зумовлює реакцію об’єкта у. Повтори­мо n разів дослід, задаючи величині x одне і те ж значення. Показнику як випадкова величина набуватиме значень у1,у2,... уn. Математичне сподівання значення цього показника М(у) знайдемо як середнє ариф­метичне всіх його виміряних значень

Очевидно, що точність визначення середнього значення буде тим вища, чим більша проведена в однакових умовах кількість дослідів. Точність середнього значення випадкової величини пов’язана зі ступе­нем розсіяння її значень, що визначається дисперсією D(y):

При експериментальному дослідженні та побудові моделі дослід­жуваного процесу чи явища необхідно знайти залежність між двома величинами — вхідною та вихідною. При дослідженні реальних техно­логічних систем вигляд залежності між двома випадковими величина­ми майже завжди невідомий. У нашому розпорядженні є тільки резуль­тати певної кількості дослідів, наприклад n. На графіку ця залежність між випадковими величинами матиме вигляд хмарки точок, що відпові­датимуть експериментальним даним. Для побудови математичної залеж­ності між двома змінними величинами одна з цих величин, наприклад, фактор х отримує ряд послідовних значень х1, х2,.... Кожне з цих зна­чень називається рівнем фактора. На кожному з цих рівнів дослід пов­торюється декілька разів, тобто здійснюються так звані паралельні дос­ліди. Для першого рівня, наприклад, матимемо х11, х12, х1З, .... Тоді для кожного рівня фактора знаходять середнє значення іншої змінної величини — показника Якщо ці значення показати на графіку y=f(x) та з’єднати середні значення у ламаною лінією, то утво­риться емпірична лінія регресії (рис. 3.5). При збільшенні кількості спо­стережень на кожному рівні фактора та зменшенні кроку між сусідніми факторами ламана лінія починає вирівнюватись і набувати закономірного характеру. В цьому випадку зростає точність визначення дійсної залеж­ності, яка описується теоретичною лінією регресії.

Термін регресія вказує на стохастичний зв’язок між випадковими величинами. Він належить одному із творців математичної статистики — Френсісу Гальтону. Вивчаючи статистичну залежність між зростом батьків та дітей, він шляхом добору математичної моделі з’ясував, що зріст дитини наполовину визначається зростом батьків, на чверть — зростом прадідів, на 1/8 — зростом прапрадідів і т. д. Тобто в моделі Гальтона зріст дитини визначається зростом не тільки батьків, але й більш віддалених предків. Оскільки в цій моделі здійснюється в істо­ричному часі рух назад, то це явище було названо регресією, яка визна­чає рух назад, на відміну від прогресу, тобто руху вперед.

Подпись: ЕЛР
 
Рис.3.5. Емпірична (ЕЛР) і теоретична (ТЛР) лінії регресії.
Теоретичною основою виз­начення залежності між вели­чинами в умовах дії випадко­вих збурень є кореляційний аналіз. Його методи дають змогу розв’язати дві основні задачі: визначити форму та числові коефіцієнти залеж­ності, що зв’язує між собою параметри досліджуваного процесу чи явища; визначити, наскільки тісно зв’язані ці па­раметри.

 

3.3.2.Визначення форми і числових значень коефіцієнтів залежностей

Залежність y=f(x) визначають за два етапи: на першому вибирають вид зв’язку між параметрами залежності, а на другому знаходять чис­лові значення коефіцієнтів цієї залежності.

Вид взаємозв’язку параметрів, що входять у залежність у = f(x), може бути визначений:

вивченням фізичного змісту явища, використанням аналогії з інши­ми науковими теоріями, результатом чого є аналітична побудова загаль­ної моделі, коефіцієнти якої знаходять експериментально;

побудовою емпіричної лінії регресії при великій кількості пара­лельних дослідів, яка буде наближеною до теоретичної лінії регресії, тобто теоретичної залежності, та добору полінома, який найкращим чином відповідав би експериментальним даним.

Поліном, або багаточлен — функція, в якій змінні величини беруть участь лише добором у діях додавання, віднімання та множення (врахо­вуючи піднесення до цілого додатного степеня). Для апроксимації теоретичної залежності поліноми застосовують найчастіше. Це зумовле­но, по-перше, тим, що поліноми описують великий клас безперервних функцій, а по-друге, тим, що поліноми є найбільш простими функціями.

Для практичного застосування точність, із якою визначається тео­ретична залежність, залежить від умов задачі. Для характеристики точ­ності наближення полінома до дійсної залежності введемо поняття поля допуску на функцію. Для його отримання теоретичну залежність змісти­мо вверх і вниз на половину величини допуску ? (рис. 3.5), тоді площа між цими крайніми положеннями визначить поле допуску. Очевидно, що будь-яка крива, що лежатиме всередині цього поля, може викорис­товуватись для опису залежності між змінними величинами із точністю ?. А це означає, що для опису будь-яких залежностей можна використо­вувати клас структурно найбільш простих функцій, а саме поліномів або багаточленів. Будь-який багаточлен можна скласти із простих сте­пеневих функцій у вигляді

Кожна із степеневих функцій є елементом багаточлена. Ступінь наб­лиження полінома до теоретичної лінії регресії характеризується чис­лом його членів, кількість яких легко підбирається шляхом послідовно­го доповнення вже використаних членів новими. В основу цієї методи­ки покладена теорема відомого німецького математика Карла Вейєрштраса:

Якою б складною не була безперервна функція і яким малим ми не вибрали б поле допуску на неї, завжди знайдеться багаточлен, що не відрізнятиметься за заданою точністю від заданої функції.

Очевидно, що чим вища точність опису теоретичної залежності по­трібна, тим більш високий ступінь полінома використовується для її опису. Тому в практиці спочатку використовують лінійний поліном, тобто лінійну модель залежності. Якщо ж перевірка адекватності моделі по­казує, що вона не відповідає експериментальним даним, то модель до­будовують до квадратичної, потім, якщо необхідно, — до кубічної, і так далі аж до отримання позитивного результату перевірки на адекватність. Ця процедура називається ідентифікацією моделі.

Визначення числових значень коефіцієнтів. Крива, що описує за­лежність відомої форми, повинна найкращим чином відповідати експе­риментальним точкам, тобто бути найбільш близькою до них. Близькість точки до кривої визначається ординатою її відстані від неї. Оскільки відхилення може бути додатним або від’ємним, то для оцінки наближе­ності експериментальних точок до кривої використовується квадрат цієї відстані. Ця умова покладена в основу наукового методу пошуку ко­ефіцієнтів залежності, названого методом найменших квадратів, і має такий вигляд:

де ? — різниця між експериментальним у та розрахунковим у* значен­нями показника; N— кількість експериментальних точок.

Розглянемо найпростішу — лінійну залежність y =f(х) такого виг­ляду:

b0 та b — невідомі коефіцієнти залежності, значення яких знаходять за даними дослідів.

 

Нехай результатами дослі­дів буде N експериментальних точок із координатами (хр у{)9 (х2,у2),(х^ук). Тоді для кожної експериментальної точки різниця між експерименталь­ним та розрахунковим значен­ням показника визначиться як

(рис. 3.6):

 

 

Виходячи із основної умо­ви методу найменших квад­ратів, отримаємо рівняння най­менших квадратів у вигляді

 

Невідомими величинами в рівнянні найменших квадратів будуть коефі­цієнти b0, Ь. Умови мінімізації цієї функції такі:

 

Тоді

 

 

Розв’язавши цю систему із двох рівнянь, що мають два невідомі b0 та b, отримаємо лінійну залежність, яка відповідає експериментальним точкам.

Приклад. При аналізі залежності між відхиленням від круглості за­готовок х та відхиленням від круглості оброблених на токарному вер­статі деталей у отримано такі дані:

X, мкм

42

35

75

90

137

115

y, мкм

10

8

24

35

50

40

 

Аналіз дослідних даних показує, що в першому наближенні можна використати лінійну залежність у = b0 + Ь*х. Знайдемо її коефіцієнти b0 та Ь методом найменших квадратів. Результати обчислень зведемо в табл.3.4.

Підставивши отримані в табл. 3.4 дані в систему рівнянь, запишемо

Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо значення коефіцієнтів, із якими лінійна залежність набуде вигляду

 

 

Якщо показник технологічного процесу залежить від декількох  факторів, тобто

то для визначення коефіцієнтів багаточлена необхідно скласти (n+1) рівнянь. Систему рівнянь запишемо таким чином:

Розвязуючи цю систему рівнянь, знаходять числові значення коефіцієнтів полінома.

Розглянемо знаходження числових значень коефіцієнтів для випадку нелінійної, наприклад, отриманими прирівнюванням до нуля похідних функцій найменших квадратів F:

 

Система рівнянь має такий вигляд:

Окрім лінійної і квадратичної залежності, в практичних задачах ча­сто трапляються інші залежності. При гіперболічній залежності

система нормальних рівнянь для визначення коефіцієнтів методом най­менших квадратів має такий вигляд:

У деяких випадках визначення коефіцієнтів вихідної залежності може бути спрощене шляхом заміни змінних. У технології машинобу­дування, наприклад, часто трапляються степеневі залежності

Після логарифмування та заміни змінних отримаємо лінійну за­лежність, коефіцієнти якої визначаться за вже розглянутими виразами, тобто

 



загрузка...