Коефіцієнт кореляції та кореляційне відношення не залежать від вибору початку відліку і від одиниці виміру змінних величин. У практиці це дає змогу зменшувати або збільшувати змінні х та у в декілька разів, здійснюючи заміну змінних, а також додавати чи віднімати від них одне й те ж число, переносячи початок системи координат у будь-яку точку кореляційного поля. При цих маніпуляціях коефіцієнт кореляції та кореляційне відношення не зміняться.
Ці властивості коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення враховує методика визначення щільності зв’язку двох змінних. При значній кількості спостережень для впорядкування результатів значеннях та у розбивають на інтервали, тоді кореляційне поле міститиме певну кількість клітин, у кожну з яких потрапляє деяка кількість експериментальних точок (рис. 3.8).
Якщо матеріал спостережень розмістити на клітинах, отриманих на k інтервалах по х та l інтервалах по у, то математичні вирази для визначення коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення матимуть вигляд, зручніший для практичних розрахунків. Позначимо через частоту появи точки з координатами , а через — частоти появи значень в дослідах. Тоді для визначення коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення отримаємо залежності:
Де — середини відповідних інтервалів по осях X, У, причому і =1,…k, a j =1,...,l; — середнє арифметичне значення y в i-му інтервалі по осі Х, яке обчислюється як
Матеріал групують по інтервалах значень величин x та y, потім складають кореляційну таблицю, в якій також здійснюють розрахунок частот. При її складанні для спрощення розрахунків замінюють натуральні змінні х, у кодованими за виразами (метод умовного нуля):
де — середини значень інтервалів, яким відповідають максимальні частоти — ширина інтервалів значень x, у.
При заміні натуральних змінних x,у їхніми кодованими значеннями математичні вирази для визначення щільності зв’язку практично не змінюються, набуваючи такого вигляду:
За результатами обчислень значень знаходять щільність зв’язку між змінними х та у (табл. 3.5).
Приклад. На налагоджений на певний діаметральний розмір токарний автомат надходять заготовки із коливанням величини припуску на обробку. Була сформульована гіпотеза про вплив припуску на величину відхилення діаметрального розміру обробленої деталі — валика. Для її перевірки відібрано 25 деталей після чистового точіння, для яких попередньо вимірювали величину припуску на обробку, а після обробки — діаметр. Дані наведені в табл. 3.6, де X— величина припуску на обробку; У — величина відхилення від налагодженого розміру.
Рис. 3.9. Кореляційне поле до прикладу
Оскільки вид зв’язку між змінними х та у невідомий, то необхідно обчислити за даними цієї вибірки емпіричні значення коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення. За результатами вимірювань 25 деталей до і після обробки побудуємо кореляційне поле (рис. 3.9). На осі абсцис відкладемо значення припуску на обробку х, а на осі ординат — відхилення діаметра валика від налагодженого діаметра у. Ширина інтервалів зміни цих величин За результатами експериментальних даних будується кореляційна таблиця (табл. 3.7), яка доповнюється рядками обчислень статистичних характеристик. Для спрощення цих обчислень здійснимо заміну змінних з переносом системи координат (рис. 3.9):
Табл. 3.7 має 8 рядків, у яких наведені всі розрахунки, потрібні для визначення щільності зв’язку. Зазначимо, що значення в 4-му рядку отримані таким чином:
Значення в 6-му рядку отримані діленням даних 4-го рядка на дані 1-го рядка.
За даними таблиці запишемо:
Коефіцієнт кореляції та кореляційне відношення визначаться таким чином:
Як бачимо, зв’язок між змінними у і х є достатньо тісним і можна стверджувати, що зі збільшенням коливання величини припуску пропорційно зростає похибка оброблюваного розміру. В цьому випадку можна вважати, що між змінними х та у існує лінійний кореляційний зв’язок. Тоді коефіцієнт кореляції може бути визначений за більш простим виразом, а саме: