3.4.3.Активний багатофакторний експеримент та його математичне планування
Класичний план експерименту полягає в почерговому дослідженні впливу кожного фактора, коли значення всіх інших фіксуються на одному рівні. Однак прагнення до мінімізації кількості окремих дослідів зумовило появу факторного планування експерименту, коли значення всіх факторів змінюються одночасно, а вплив кожного з них виокремлюється за допомогою методів статистичного аналізу. Статистичні методи планування експерименту розробив англійський математик Рональд Фішер, узагальнивши їх під назвою математичне планування експерименту. Застосування математичного планування експерименту дає такий план експерименту, який допомагає вибрати найбільш раціональні точки факторного простору, в яких необхідно провести досліди, а також визначити раціональну послідовність проведення цих дослідів. При цьому досягається суттєве зменшення кількості дослідів.
Нехай досліджується вплив на показник у двох факторів х1 та х2, тобто необхідно розв’язати рівняння
При активному експерименті дослідник має змогу вибрати точки факторного простору, в яких будуть проводитись досліди. Раціональний вибір точок у факторному просторі здійснюється за класичним або факторним планами проведення експерименту.
Класичний план експерименту полягатиме в задані одному із факторів постійного значення і послідовній зміні іншого, тобто визначається залежність у =f(x1) при х2 = const. Далі знаходимо залежність у=f(x 2) при x1 = const.
Нехай треба дослідити вплив кінематичних факторів процесу різання (швидкості різання V та подачі s) на стійкість різця T, тобто
Кожен фактор може набувати декількох значень між мінімальним та максимальним. Класичний план полягатиме в окремому вивченні впливу обох факторів: V та s. У процесі експерименту встановлюється середнє значення подачі та вивчається зміна стійкості різця при зміні швидкості різання від мінімального до максимального значення, наприклад, при п’яти різних значеннях (рис. 3.11, а).
Так само вивчають вплив подачі на стійкість. Таким чином можна з’ясувати, як впливає швидкість різання на стійкість, коли подача має середнє значення, але не можна визначити вплив швидкості, коли подача є мінімальною чи максимальною. Необхідно реалізувати низку дослідів, яка охоплює область значень досліджуваних факторів, тобто провести дослід у кожному вузлі сітки факторного простору (рис. 3.11, б). У цьому випадку, щоб вивчити залежність Т=F(V, s), слід провести 25 дослідів. Такий план проведення експерименту являє собою суму однофакторних експериментів, у яких послідовно досліджується один фактор, а інші фіксуються незмінними. Він має безумовну перевагу, бо визначає окремий вплив кожного фактора. Однак існує і суттєвий недолік: зі зростанням числа досліджуваних факторів n та кількості рівнів кожного к з них різко збільшується необхідна кількість дослідів N, що визначається як
При дослідженні кожного з факторів, наприклад, на п’яти рівнях (тобто при п’яти різних значеннях), кількість дослідів відповідно до кількості досліджуваних факторів становитиме
Число факторів
1
2
3
4
5
Число дослідів
5
25
125
625
3125
Зі зростанням кількості дослідів зростають складність і тривалість проведення експерименту, а також його вартість. Окрім того, розподіл результатів дослідження за факторами створює методичні незручності для отримання загальної картини досліджуваного явища.
Факторний план проведення експерименту не має таких недоліків. Він ґрунтується на одночасній зміні всіх досліджуваних факторів, а вплив кожного з них визначається методами дисперсійного аналізу, як при багатофакторному пасивному експерименті. Застосування факторного плану проведення експерименту опирається на широке використання методів математичної статистики та статистичних критеріїв для перевірки відтворюваності дослідів, адекватності моделі тощо. Така методика проведення багатофакторного активного експерименту отримала назву математичного планування експерименту.
При математичному плануванні експерименту використовують терміни, введені Р.Фішером. Фактор — це змінна величина, що може набувати при проведенні експерименту задане значення та кількісно визначатися. До факторів належать різноманітні технологічні режими та конструктивні параметри обладнання, наприклад, при різанні це швидкість, глибина та подача, при сушінні — температура та час, при зварюванні пластичних матеріалів — температура, тиск і час. Кожне значення, якого набуває фактор, називається рівнем. Сукупність значень усіх факторів утворює факторний простір, на якому створюється сітка точок, кожна з яких відповідає одному дослідові.
Показник досліджуваного явища у називається функцією відгуку. В дослідженнях технологічних систем це, як звичайно, показники якості виробу (геометрична точність, фізико-механічні та інші властивості), показники ефективності функціонування обладнання (продуктивність, собівартість продукції, капітальні витрати тощо).
Побудова математичної моделі досліджуваного процесу полягатиме в знаходженні зв’язків між факторами та функцією відгуку у вигляді залежності
Об’єкт дослідження розглядається як “чорна скринька”, для якої невідомі механізми процесів, що відбуваються в ній, і вид рівнянь для їх опису. Отримана математична модель використовується для оптимізації показників технологічної системи. Геометричний образ цієї моделі, що є функцією відгуку, утворює поверхню відгуку, яка будується в факторному просторі, на осях якого відкладені значення досліджуваних факторів. Функція відгуку задається за допомогою ліній постійного значення у. Якщо досліджується вплив двох факторів на два показники (рис. 3.12),
то поверхня відгуку має геометричну інтерпретацію (рис. 3.13). Якщо в експерименті бере участь більше ніж два фактори, то для зображення поверхні відгуку використовують двовимірні перерізи факторного простору, тобто всі фактори
окрім двох, що входять у переріз, фіксують на постійних рівнях, а ці два фактори змінюють на декількох рівнях.
Математичну модель будують шляхом підбору полінома, який відповідав би експериментальним точкам. Такий поліном опише теоретичну лінію регресії, яка буде наближеною до емпіричної. Ступінь цього наближення залежить від кількості членів полінома, які визначають методом підбору. Ця процедура називається ідентифікацією моделі і здійснюється таким чином. Спочатку будують лінійну модель, яка за допомогою критерію Фішера перевіряється на адекватність, тобто відповідність експериментальним точкам. Таку перевірку називають перевіркою адекватності моделі. Якщо лінійна модель неадекватна, то поліном добудовують до неповної квадратичної моделі, додаючи відповідні члени. Після цього знову перевіряють адекватність неповної квадратичної моделі, яку за необхідності добудовують до повної квадратичної моделі і так далі. Найбільш цінне в такій методиці підбору виду моделі те, що результати дослідів, використовувані для побудови лінійної моделі, використовуються і для побудови більш складних моделей.
Поліном для опису моделі із n факторів матиме такий вигляд:
в якому перші два члени після знака рівності задають лінійну модель (1), три члени — неповну квадратичну модель (2), чотири члени — квадратичну модель (3) тощо.
Очевидно, що кількість дослідів, необхідних для знаходження залежності між стійкістю різця та кінематичними режимами різання залежатиме від характеру цієї залежності. Якщо очікується лінійна залежність, то досить використати два рівні для вивчення впливу кожного фактора. Більші значення факторів, наприклад V2 та s2, називаються верхніми рівнями, менші, V1 та s1, — нижніми рівнями. Кількість дослідів відповідатиме тоді кількості всіх можливих комбінацій рівнів цих факторів, тобто
де n — кількість досліджуваних факторів, n = 2; k — кількість рівнів, на яких змінюється кожний фактор, k = 2.
Для двофакторного експерименту поверхня відгуку набуде вигляду площини (рис. 3.14), яка опишеться виразом
що включає три невідомі: b0, b1, b2. Така модель передбачає, що: впливи кожного із факторів на показник пропорційні до їх значень; впливи кожного із факторів незалежні один від одного, тобто відсутній вплив парної взаємодії цих факторів. Для отримання цієї моделі досить провести досліди в чотирьох точках факторного простору за таким планом:
За таким планом експерименту можна скласти чотири рівняння із трьома невідомими. Одне з рівнянь можна використовувати для перевірки адекватності моделі. Про такий план кажуть, що він забезпечує один ступінь вільності.
Розглянемо тепер знаходження коефіцієнтів лінійної моделі.
Для спрощення обчислень, центр координатної системи перемістимо в середину координатного простору (рис. 3.15). Нова координатна система Х1-Х2 дає змогу отримати кодовані значення факторів за формулами:
де - середні значення факторів; — інтервали варіації факторів.
Значення інтервалів варіації та середніх значень досліджуваних факторів знайдемо з виразів (див. рис. 3.15):
Тоді кодовані фактори матимуть вигляд (на прикладі першого фактора V):
Аналогічно кодується значення другого фактора. Тоді план експерименту набуде зручного вигляду матриці експерименту.
Якщо кількість факторів зростає, то матриця експерименту стає більш складною. Для її побудови використовуються такі правила:
один стовпчик для одного фактора; у першому стовпчику чергуються значення “-1” та “+1”; у другому стовпчику чергуються двічі “-1” та ДВІЧІ “+1”; у третьому стовпчику чергуються чотири “-1” та чотири “+1”. Матриця експерименту, побудована за цими правилами для трьох факторів, матиме такий вигляд:
Розглянуті плани експерименту відповідають так званому повному факторному експерименту (ПФЕ).
Він включає всі досліди, проведені при всіх можливих комбінаціях між різними рівнями досліджуваних факторів. Плани повного факторного експерименту стають незручними для використання, коли число факторів k стає значним, наприклад, при k = 5, кількість дослідів у матриці N=32. У таких випадках використовують плани експерименту, які включають тільки половину, чверть або восьму частину дослідів, заданих планом повного факторного експерименту. Такі плани називаються дробовими планами експерименту (ДПЕ).
В основу побудови дробового плану експерименту покладено відповідний повний план експерименту (він виступає як базовий план), який доповнюється стовпчиками, які задають комбінації досліджуваних факторів, що дає змогу збільшити кількість стовпчиків у матриці.
За планом повного факторного експерименту для двох факторів, наприклад, який скорочено записується як ПФЕ= 22 , можна побудувати матрицю експерименту для трьох факторів:
Для того щоб визначити чотири невідомі — — достатньо мати систему із чотирьох рівнянь, які задаються повним факторним планом для двох факторів. Додатковий фактор X3 може задатися стовпчиком із взаємодією вихідних факторів
ХЗ=ХІ *Х2.
Тоді матриця експерименту для трьох факторів із одним додатковим фактором, що задає дробовий план експерименту типу ДФЕ = 23-1 , матиме такий вигляд. За планом повного факторного експерименту для трьох факторів можна побудувати матрицю експерименту для 7 факторів, у якому додаткові фактори задані стовпчиками із наступними комбінаціями вихідних факторів:
Тоді матриця дробового плану експерименту типу ДФЕ = 27-4 (для семи факторів із чотирма додатковими) матиме такий вигляд:
№
XI
Х2
X3
Х4=Х1*Х2
Х5=Х1*ХЗ
Хб=Х2*ХЗ
Х7=Х1*Х2*Х3
У
1
-1
-1
-1
+1
+1
+ 1
-1
У1
2
+ 1
-1
-1
-1
-1
+1
+ 1
У2
3
-1
+ 1
-1
-1
+1
-1
+1
У3
4
+ 1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
у4
5
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+ 1
У5
6
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
уб
7
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
У7
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
у8
Коефіцієнти математичної моделі - полінома визначаються за виразами
де і, l — номери факторів; j — номер досліду.
Приклад. Визначимо коефіцієнти лінійної моделі заданими матриці експерименту, що наведені раніше. Спочатку визначимо коефіцієнти моделі із кодованими факторами яка має вигляд
Здійснимо перехід до натуральних змінних. Для цього треба знати, які були конкретні значення швидкості різання та подачі при проведенні експерименту, результати якого представлені в матриці. Нехай під час експерименту швидкість різання змінювала своє значення від 50 до 150 м/хв, а подача — від 0,1 до 0,3 мм/об. Тоді параметри кодування зададуться таблицею (табл. 3.10).
Вирази для переходу до натуральних змінних визначаться із формул, що використовувались для кодування. Отже, матимемо
Тоді математична модель у натуральних змінних визначиться як
Отримане рівняння регресії описує досліджуваний процес. Знак коефіцієнта при факторі показує напрям зміни показника ефективності процесу при зростанні фактора. Значення коефіцієнтів вказують на ступінь впливу цих факторів, тобто на їх відносний вклад у значення показника ефективності процесу.