загрузка...
 
Пустое множество
Повернутись до змісту

Пустое множество

Само название «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать много (по крайней мере два) элементов. Но это не так. В математике приходится рассматривать и множества, содержащие только один элемент, и даже множество, не имеющее ни одного элемента. Это множество называют пустым и обозначают 0.

Примерами пустых множеств могут служить множество лошадей, пасущихся на Луне, множество десятиногих млекопитающих, множество трехлетних гроссмейстеров, множество действительных корней уравнения х4 + 16 = 0, множество решений системы уравнений   г

2х - 5у = 1,

|^4х — 10у = 6.

Зачем же вводят пустое множество? Во-первых, отметим, что когда множество задано своим характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество А состоит из всех четырехугольников таких, что

а)   все их углы прямые,

б)   диагонали имеют различную длину.

Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто. Пусто и множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°. Множество квадратных трехчленов, имеющих более двух корней, тоже пусто. Вообще многие математические утверждения можно сформулировать как утверждения о пустоте некоторого множества (попробуйте сформулировать так теорему Пифагора).

Не решая уравнения х4 — 7х2 — 6х + 26 = 0, было бы трудно установить, пусто или нет множество его действительных корней. Впрочем, если переписать это уравнение в виде

2 — 4)2 + (х — 3)2 + 1=0,

то станет ясно, что оно не имеет действительных корней.

Иногда бывает трудно сказать, пусты ли те или иные множества нематематической природы. Если кто-нибудь плохо знает зоологию, он не сможет ответить на вопрос, пусто ли множество акул, живущих в Байкале, или множество тигров, живущих на свободе в Австралии.

Долго было неизвестно, пусто ли множество всех натуральных чисел п таких, что п > 2, а уравнение хп + уп = гп имеет положительные целочисленные решения (в этом состояла знаменитая проблема Ферма). Лишь в 1995 г. Э. Уайлс установил, что это множество пусто. До сих пор неизвестно, пусто ли множество цифр, входящих лишь конечное число раз в десятичное разложение числа п (хотя это число и вычислено с точностью до многих тысяч десятичных знаков, неизвестно, все ли цифры входят в его десятичное разложение бесконечно много раз или какая-нибудь цифра встречается лишь конечное число раз).

До сих пор не выяснено, пусто ли множество целых решений уравнения х3 + у3 + г3 = 30 (при этом допускаются как положительные, так и отрицательные целые решения; то, что множество решений этого уравнения в натуральных числах пусто, совершенно очевидно).

Неизвестно и то, пусто ли множество всех живых плезиозавров на земном шаре, — если чудовище озера Лох-Несс действительно окажется плезиозавром, то это множество не пусто.

Теория множеств и школьная математика

Множества могут состоять из самых различных элементов — рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным областям знания (математике, механике, физике, биологии, лингвистике и т.д.). Для математики особо важную роль играют множества, составленные из «математических» объектов — геометрических фигур, чисел, алгебраических выражений, функций и т. д. С некоторыми такими множествами имеют дело в школьной математике, но там обычно избегают самого слова «множество» (за исключением школ и классов с углублённым изучением математики).

На самом же деле школьная математика имеет дело с множествами на каждом шагу. Особенно часто встречаются числовые множества, то есть множества, составленные из чисел. Примерами таких множеств могут служить:

а)   множество всех натуральных чисел,

б)   множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля),

в)   множество всех рациональных чисел,

г)   множество всех действительных чисел,

д)   множество всех комплексных чисел,

е)   множество площадей правильных многоугольников, вписанных в данный круг, и т. д.

С каждым уравнением связаны два числовых множества. Первым из них является множество чисел, при которых выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Это числовое множество называется областью допустимых значений неизвестного. Например, для уравнения

x    x — 1     1

     1    = —

x2 — 4    x2 — 9    3

область допустимых значений состоит из всех чисел ж, для которых x2 — 4 = 0 и ж2 — 9 = 0, то есть из всех чисел, кроме чисел множества {2, —2, 3, —3}. А для уравнения

/—ж2 + ж + 12 + ж = 2 + ^10

область допустимых значений состоит из чисел, для которых

ж2 + ж + 12 ^ 0. Это неравенство выполняется, если —3 ^ ж ^ 4.

Вторым множеством, связанным с данными уравнением или неравенством, является множество его решений. Например, для уравнения ж2 — 7ж + 12 = 0 множество корней состоит из двух чисел {3, 4}, а для уравнения sin пж = 0 — из бесчисленного множества чисел, а именно из всех целых чисел. Когда уравнение задано, множество M его корней определено характеристическим свойством — тем, что числа ж, входящие в M, удовлетворяют данному уравнению. После того, как уравнение решено, множество M задано списком (если оно конечно) или более простым характеристическим свойством (если оно бесконечно), например, свойством, что все его элементы — целые числа.

В то время как множество решений уравнения состоит обычно из нескольких чисел или (для большинства тригонометрических уравнений) из нескольких последовательностей чисел, множество решений неравенства, как правило, сплошь заполняет некоторые участки множества действительных чисел. Например, неравенство

— ж2 ^ 0 выполняется на отрезке —2 ^ ж ^ 2, обозначаемом [—2; 2], а неравенство

(4 — ж2)(ж — 3)(ж — 5) ^ 0

на отрезках —2 ^ х ^ 2 и 3 ^ х ^ 5. Если вместо нестрогих взять строгие неравенства, то получатся отрезки с отброшенными концами, так называемые числовые промежутки. Например, множество решений неравенства

(4 — х2)(х — 3)(х — 5) > 0

состоит из промежутков —2 <х< 2 и 3 <х< 5, обозначаемых (—2; 2) и (3; 5). Концы —2, 2, 3, 5 этих промежутков не удовлетворяют неравенству. Встречаются в качестве решений неравенства и более сложные множества. Например, решением неравенства Х^ 0 является

4 х

множество чисел х таких, что 1 ^ х< 4, обозначаемое [1; 4). Здесь один конец отрезка (а именно 1) принадлежит множеству решений, а другой — число 4 — не принадлежит ему.

Так как каждое действительное число изображается точкой на числовой оси, числовые множества можно изображать как некоторые множества точек на прямой. Например, на рис. 3 а изображено множество чисел х таких, что —4 ^ х ^ 1, а на рис. 3 б изображено множество таких чисел х, что —2 < х < 3.

-4 -3 -2-10   1

а)

Рис. 3

Подпись: А{ху)Подпись: Рис. 4Особенно удобно геометрическое изображение множеств, состоящих из пар или троек чисел. Например, уравнение х2 + у2 = 25 задает множество М пар чисел (х; у), при подстановке которых уравнение обращается в тождество. Пары чисел (-5; 0), (3; -4) принадлежат множеству М, так как (—5)2 + 02 = 25, 32 + (—4)2 = 25, а пара чисел (1; 6) не принадлежит множеству М, так как 12 + 62 = 37 = 25. Однако такое описание множества М не очень наглядно. Чтобы описать это множество нагляднее, воспользуемся методом координат. Выберем на плоскости систему декартовых координат (это те самые координаты, которые изучаются в школе). Тогда каждой паре чисел (х; у) соответствует точка А на плоскости с координатами х и у, а каждой точке плоскости — пара х и у ее координат (рис. 4).


Если изобразить на плоскости все пары чисел (х; у), для которых х2 + у2 = 25, то легко заметить, что они ложатся на одну и ту же линию, а именно на окружность радиуса 5 с центром в начале координат (рис. 5). Если вспомнить теорему Пифагора, то сразу станет ясно, что множество всех точек А(х; у), для которых х2 + у2 = 25, совпадает с множеством точек этой окружности (рис. 6).

 

Неравенства, содержащие два неизвестных, обычно задают не линии, а целые области на плоскости. Например, неравенство х2 + у2 ^ 25 задает на плоскости множество точек, расстояние которых от начала координат не превосходит 5, то есть множество точек круга радиуса 5 с центром в начале координат. При этом сама окружность входит в указанное множество. А неравенство х2 + у2 < 25 задает тот же круг, но без граничной окружности. *

В геометрии мы сталкиваемся с двумя типами множеств. Во- первых, теоремы геометрии обычно говорят о свойствах некоторого множества геометрических фигур. Например, теорема о том, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, касается множества всех параллелограммов. Во-вторых, сами геометрические фигуры являются множествами, состоящими из входящих в них точек. Мы можем поэтому говорить о множестве всех точек данного круга, о множестве всех точек данного конуса и т. д.

В алгебре мы встречаемся с такими множествами, как множество всех многочленов от двух переменных, множество всех квадратных уравнений, множество всех алгебраических уравнений и т. д. Одним словом, почти каждый раздел школьной математики так или иначе связан с теорией множеств.

Подмножества

Введение понятия множества в математику оказалось очень полезным. Из-за того, что элементами множеств могут быть вещи самой различной природы, одни и те же утверждения, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о точках геометрических фигур, и как утверждения о натуральных числах, и как утверждения о животных или растениях, и как утверждения об атомах или молекулах. Понятия и теоремы теории множеств обладают очень большой общностью. Мы расскажем сейчас о некоторых из них.

В первую очередь познакомимся с понятием подмножества. Оно возникает каждый раз, когда приходится рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества. Именно, говорят, что множество Б является подмножеством другого множества А, если каждый элемент х из Б является вместе с тем и элементом множества А. В этом случае пишут Б С А.

Например, если взять какую-нибудь среднюю школу, то множество учеников десятых классов этой школы является подмножеством в множестве всех учеников данной школы. В свою очередь множество учеников этой школы является подмножеством в множестве всех школьников.

Множество всех лис является подмножеством в множестве всех хищных зверей, множество хищных зверей — подмножеством в множестве млекопитающих, а множество млекопитающих — подмножеством в множестве позвоночных. Если геометрическая фигура X является частью геометрической фигуры У, то множество точек фигуры X есть подмножество множества точек фигуры У (рис. 7).

В геометрии также часто приходится иметь дело с подмножествами некоторых множеств геометрических фигур. Возьмем, например, следующие множества: множество А состоит из всех четырехугольников; множество Б состоит из всех трапеций; множество С состоит из всех параллелограммов; множество Д состоит из всех прямоугольников; множество Е состоит из всех квадратов. В этом списке фигура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (трапеция — частный случай четырехугольника,
параллелограмм — частный случай трапеции и т. д.). Но это и означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего:

А Э В Э С Э В Э Е.

Точно так же в следующем списке каждое следующее множество является подмножеством предыдущего: множество всех комплексных чисел; множество всех действительных чисел; множество всех рациональных чисел; множество всех целых чисел; множество всех натуральных чисел. Во многих случаях, чтобы выделить в данном множестве некоторое подмножество, добавляют к характеристическому признаку множества то или иное дополнительное условие. Например, подмножество натуральных чисел выделяется в множестве целых чисел добавлением условия п > 0, а подмножество равносторонних треугольников в множестве всех треугольников — добавлением условия а = Ь = с.

Мы уже говорили, что многие теоремы формулируются как теоремы о совпадении двух множеств. Наряду с ними встречаются и теоремы, в которых речь идет лишь о том, что одно множество является частью другого. Например, в теореме «Диагонали четырехугольника с равными сторонами (ромба) взаимно перпендикулярны» речь идет о двух множествах: А — множество всех ромбов, В — множество всех четырехугольников с взаимно перпендикулярными диагоналями. И теорема состоит в том, что А С В.

Если множество А является подмножеством множества В, А С В, то принадлежность множеству А является достаточным условием принадлежности к множеству В, а принадлежность к множеству В — необходимым условием принадлежности множеству А. Например, пусть В — множество всех четных положительных чисел, а А — множество натуральных чисел, последней цифрой которых является 4. Ясно, что А С В. Поэтому для того, чтобы целое число п было четным, достаточно, чтобы его последней цифрой было 4. С другой стороны, для того чтобы последней цифрой целого числа было 4, необходимо, чтобы это число было четным.

В случае, когда множества А и В совпадают, принадлежность к А необходима и достаточна для принадлежности к В. Иными словами, теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным, — это теоремы о совпадении двух множеств.

Так, для того чтобы целое число п делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его последней цифрой был 0. Иными словами, множество А чисел, кратных 10, совпадает с множеством В целых чисел, последней цифрой которых является 0.

Точно так же множество всех ромбов совпадает с множеством параллелограммов, имеющих взаимно перпендикулярные диагонали. Поэтому для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны. *



загрузка...