Вообще говоря, слагаемые множества могут иметь общие элементы. Однако часто бывает, что некоторое множество является суммой своих подмножеств, никакие два из которых не имеют общих элементов (или, как обычно говорят, не пересекаются). В этом случае говорят, что множество А разбито на непересекающиеся подмножества.
Разбиение на подмножества часто используется для классификации объектов. Например, когда составляют каталог книг в библиотеке, то все множество книг разбивают на книги беллетристического характера, книги по общественно-политическим наукам, по естественным наукам и т. д.
В биологии все множество животных разбивается на типы, типы — на классы, классы — на отряды, отряды — на семейства, семейства — на роды, а роды — на виды.
Конечно, одно и то же множество можно разными способами разбивать на подмножества. Когда в той же библиотеке составляют алфавитный каталог, то сначала книги разбиваются на подмножество книг, фамилии авторов которых начинаются на А, подмножество книг, фамилии авторов которых начинаются на Б, и т. д. После этого каждое полученное подмножество разбивают в соответствии со второй буквой фамилии авторов и т. д.
При разбиении множества на подмножества часто используют понятие эквивалентности элементов. Для этого определяют, что значит «элемент х эквивалентен элементу у», после чего объединяют эквивалентные элементы в одно подмножество. Однако не всякое понятие эквивалентности годится для такого разбиения. Например, назовем двух людей эквивалентными, если они знакомы друг с другом. Такое определение эквивалентности окажется неудачным. Ведь может случиться, что человек X знаком с человеком У, человек У знаком с человеком Z, а люди X и Z друг с другом незнакомы. Тогда нам придется сначала отнести в одно подмножество людей X и У (они друг с другом знакомы), потом в то же подмножество включить и Z (он знаком с У), и у нас в одном подмножестве окажутся незнакомые друг с другом X и Z. Чтобы не было таких неприятностей, нужно, чтобы для понятия эквивалентности выполнялись следующие три условия:
а) каждый элемент сам себе эквивалентен;
б) если элемент х эквивалентен элементу у, то элемент у эквивалентен элементу х;
в) если элемент х эквивалентен элементу у, а элемент у эквивалентен элементу г, то элемент х эквивалентен г.
Можно доказать, что выполнение этих условий необходимо и достаточно для того, чтобы множество А можно было разбить на подмножества эквивалентных между собой элементов (и притом так, что разные подмножества не имеют общих элементов).
Например, назовем два целых числа х и у эквивалентными, если их разность — четное число. Легко проверить, что при этом выполняются все три условия а)—в). Объединяя эквивалентные целые числа, мы разобьем множество всех целых чисел на два подмножества: множество четных чисел и множество нечетных чисел. *