загрузка...
 
Планета мифов
Повернутись до змісту

Планета мифов

Однажды во время беседы за чашкой кофе в клубе Межгалактических путешественников знаменитый член этого клуба, Мюнхгаузен космической эры, Йон Тихий рассказал:

«Высадка на планету Гесиод была очень трудна. Но когда я оказался на поверхности, то пожалел, что решил опуститься: на ней жили чудовища, более страшные, чем описанные в древних мифах греков. Навстречу мне вышла делегация из 1000 жителей планеты. У 811 из них был один глаз, как у циклопа Полифема, у 752 — вместо волос были змеи, как у Медузы Горгоны, а 418 имели рыбий хвост, как нереиды. При этом 570 чудовищ были одноглазы и змееволосы, 356 — одноглазы и имели рыбий хвост, 348 — змееволосы и с рыбьим хвостом, а 297 — одноглазы, змееволосы и с рыбьим хвостом. Старший из них обратился ко мне и сказал...»

Но члены клуба так и не узнали, что услышал Йон Тихий на планете чудовищ. Слушавший рассказ путешественника профессор Та- рантога мгновенно произвел в уме какие-то выкладки и воскликнул:

«Дорогой Йон! Я готов поверить, что на этой планете жили существа с одним глазом, со змеями вместо волос и с рыбьими хвостами.

Тебе приходилось встречать еще более страшных чудовищ — вспомни о курдлях. Но я надеюсь, что законы математики на этой планете не превратились в мифы».

И Тарантога взял со стола бумажную салфетку и нарисовал на ней следующую схему (рис. 20). Он сказал:

«Обозначим через I множество всех членов делегации, через А — множество одноглазых, через В — множество змееволосых делегатов, а через С — имеющих рыбьи хвосты. Эти множества изображены на рис. 20 в виде кругов. Три круга делят прямоугольник на 8 частей. Подсчитаем, сколько элементов входит в каждую часть. По условию в множество АВ (то есть одноглазых и змееволосых) входило 570 существ, а в множество АВС (одноглазых, змееволосых и с рыбьими хвостами) — 297. Значит, в множество АВ — АВС входит 273 существа. Это то самое множество, которое на рис. 20 заштриховано горизонтальными линиями. Точно так же находим, что множество АС — АВС состоит из 59 существ (это множество на рис. 20 заштриховано вертикальными линиями), а множество ВС — АВС — из 51 существа (это множество заштриховано косыми линиями).

Теперь уже легко найти численность части множества А, не принадлежащей В + С. Для этого из 811 надо вычесть 570 (численность множества АВ) и еще 59 (численность множества АС — АВС). Останется 182 существа, которые одноглазы, но не имеют ни змей на голове, ни рыбьих хвостов. Точно так же устанавливаем, что численность множества В — (А + С) равна 131, а множества С — (А + В) равна 11. Результаты подсчетов изображены на рис. 21.

Подсчитаем теперь, сколько же членов делегации не были ни одноглазыми, ни змееволосыми и не имели рыбьих хвостов, то есть сколько элементов содержит множество I — А — В — С. Так как отдельные множества на рис. 21 не пересекаются, то для этого надо просто отнять от 1000 сумму 297 + 273 + 59 + 51 + 182 + 131 + 11. Но эта сумма равна 1004, и потому множество I — А — В — С насчитывает —4 существа. Но согласись сам, дорогой Йон, даже на планете мифов ни одно множество не может иметь отрицательной численности. Даже для тебя такие выдумки слишком невероятны».


А'В'С'

Рис. 21   Рис. 22

 

Оставим Йона Тихого объясняться с профессором Таран- тогой (скоро мы снова встретимся с нашим героем) и сделаем несколько замечаний. Мы разложили все множество I на 8 подмножеств и нашли их численность. Смысл этого разложения состоял в том, что полученные подмножества попарно не пересекались. Но это же разложение можно было бы получить иначе. Мы знаем, что I = А + А' = В + В' = С + С' и потому

= (А + А' )(В + В' )(С + С') = АВС + АВС' + АВ' С +

+ АВ' С' + А' ВС + А' ВС' + А' В' С + А' В' С'.

Получилось разложение множества I на 8 подмножеств. Это те же самые подмножества, которые получил ранее профессор Тарантога (рис. 22).

Из предыдущей формулы сразу вытекает, что

N (А' В' С') = N (I) — N (АВС) — N (АВС') — N (АВ' С) —

N (АВ' С') — N (А' ВС) — N (А' ВС') — N (А' В' С),

где через N(Д) обозначена численность множества Д. Эту формулу можно преобразовать так, чтобы в нее не входили дополнения А', В', С' множеств А, В, С. С этой целью заменим С' на I — С. Мы получим, что

АВС' = АВ (I — С) = АВ — АВС

и потому

N (АВС') = N (АВ) — N (АВС), N (АВ' С') = N (АВ') — N (АВ' С)

и т. д.

Заменим потом В' на I — В и, наконец, А' на I — А, получим в конце концов равенство

N (А'В'С') = N (I) — N (А) — N (В) — N (С) +

+ N (АВ) + N (АС) + N (ВС) — N (АВС).

Эта формула называется формулой включений и исключений и позволяет решать многие задачи, аналогичные рассмотренной выше. Например, Тарантога мог сразу подсчитать по этой формуле, что

N(А'В'С') = 1000 — 811 — 752 — 418 + 570 + 356 + 348 — 297 = —4. *

Вот еще одна задача, связанная с подсчетом численности конечных множеств. Она принадлежит известному детскому писателю Льюису Кэрроллу, автору «Алисы в стране чудес». Любопытно, что под псевдонимом Льюис Кэрролл писал математик Доджсон.

В одной из повестей Кэрролла есть следующая задача:

«В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 — одно ухо, 80 — одну руку и 85 — одну ногу. Каково минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?»

Обозначим через А множество одноглазых, через В — множество одноухих, через С — множество одноруких и через Б — множество одноногих. В задаче требуется оценить численность множества АВСБ. Ясно, что все универсальное множество I можно представить как сумму этого множества АВСБ и множества пиратов, сохранивших либо оба глаза, либо оба уха, либо обе руки, либо обе ноги. Поэтому

= А' + В' + С' + Б' + АВСБ.

Отсюда следует, что численность множества I не больше суммы численностей множеств А', В', С', Б' и АВСБ (она была бы равна этой сумме, если бы множества А', В', С' и Б' попарно не пересекались). Но численность множества А' равна 30, множества В' — 25, множества С' — 20 и множества Б' — 15. Так как численность универсального множества равна 100, то имеем

100 < 30 + 25 + 20 + 15 + N(АВСБ).

Отсюда

N (АВСБ) > 100 — 30 — 25 — 20 — 15 = 10.

Итак, не менее 10 пиратов лишились и глаза, и уха, и руки, и ноги.



загрузка...