стоит один нуль, после второй — два, после третьей — шесть, после п-й — п! нулей. Из доказательства же Кантора нельзя непосредственно извлечь никакого конкретного примера трансцендентного числа, это доказательство, как говорят математики, неконструктивно: здесь приводится к противоречию предположение о несуществовании трансцендентных чисел и только.
До тех пор, пока читатель не познакомился с удивительными свойствами бесконечных множеств, ответ на вопрос «где больше точек, на отрезке длиной в 1 мм или на отрезке длиной в 1 м?» вряд ли вызвал бы у него хоть тень сомнения — ясно, что на отрезке в 1 м куда больше точек, он ведь в 1000 раз длиннее. Но теперь, вероятно, читатель поостережется делать столь безапелляционные заявления — уж слишком непохожи свойства бесконечных множеств на то, чему учит обыденная жизнь. И действительно, Рис. 28
на очень коротком и очень длинном отрезках точек поровну! Иными словами, всегда можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этих отрезков. Как это сделать, лучше всего видно из рис. 28.
Трудно примириться с мыслью, что дорога длиной в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра!
Но еще неожиданнее оказалось то, что даже на всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке, то есть что между множеством точек напрямой и множеством точек на отрезке можно установить взаимно однозначное соответствие.
Мы возьмем даже не весь отрезок, а выбросим из него концы (как говорят, возьмем не отрезок, а промежуток). Как установить взаимно однозначное соответствие между промежутком и прямой, видно из рис. 29. Сначала точки промежутка отображают на полуокружность, а потом проектируют полуокружность на прямую. Ясно, что при этом каждой точке промежутка соответствует одна и только одна точка прямой, причем ни одна точка на прямой не пропущена.
Рис. 30
То же самое соответствие можно установить и по-другому, с помощью кривой — тангенсоиды, графика функции у = tgх (рис. 30).