загрузка...
 
Отрезок и квадрат
Повернутись до змісту

Отрезок и квадрат

С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько и на отрезке, математики, скрепя сердце, примирились. Но следующий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках множества, имеющего больше элементов, чем отрезок, он обратился к множеству точек квадрата. Сомнения в результате не было: ведь отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а множество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка.


На протяжении трех лет (с 1871 по 1874) Кантор искал доказательство того, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно.

Шли годы, а желанный результат не получался. И вдруг совершенно неожиданно ему удалось построить соответствие, которое он считал невозможным! Сначала он сам не поверил себе. Математику Дедекинду он писал: «Я вижу это, но не верю этому».

Но все же пришлось смириться с тем, что интуиция подвела и здесь, — в квадрате оказалось ровно столько же точек, сколько и на отрезке. Строгое доказательство этого утверждения несколько осложняется из-за неоднозначности десятичной записи чисел. Поэтому мы дадим лишь эскиз доказательства Кантора.

Возьмем отрезок [0; 1] и квадрат со стороной 1. Этот квадрат можно считать расположенным так, как на рис. 31. Нам надо установить взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и квадрата. Проектирова- У ние точек квадрата на отрезок ЛВ здесь не по- о могает, ведь при проектировании в одну точку отрезка перейдет бесконечное множество точек квадрата (например, в точку Л — все точки отрезка ДЛ.)

Решение получается следующим образом. у Каждую точку Т квадрата ЛВСД можно задать двумя числами — ее координатами х и у    Рис. 31

(или попросту ее расстояниями до сторон ЛД

Подпись: (1)
(2)
и ЛВ). Эти числа можно записать как бесконечные десятичные дроби. Так как х и у не больше 1, то эти дроби имеют вид

х = 0,аа2... ап..., у = 0,ві в2 ...вп...

(для простоты мы не берем точек квадрата, лежащих на его сторонах, а берем лишь внутренние точки). Здесь ап и вп — десятичные знаки чисел х и у, например, если х = 0,63205... и у = 0,21357..., то =6, а2 = 3, а3 = 2 и т. д., ^1 =2, в2 = 1, вз = 3 и т. д.

Нам надо теперь найти точку Q отрезка АВ, соответствующую точке Т. Достаточно указать длину отрезка AQ. Мы выберем эту длину равной числу г, десятичные знаки которого получаются путем «перетасовывания» десятичных знаков чисел х и у. Иными словами, сделаем из двух записей (1) и (2) третью, написав их десятичные
знаки через один: г = 0,а1в1«2в2«звз..пвп... Например, если х = 0,515623..., у = 0,734856..., то положим я = 0,571354682536...

Точка я лежит на отрезке [0; 1], и ясно, что различным точкам квадрата соответствуют при этом разные точки отрезка. Ведь если точки Т и Т' не совпадают, то в десятичных записях чисел х и х' или у и у' хоть один знак будет разный. Но это приведет к тому, что десятичные записи соответствующих чисел я и г' не совпадут. Несколько более подробный анализ показывает, что тогда не совпадают и сами эти точки.

Всех точек отрезка мы не получим. Например, точка г = = 0,191919... должна была бы получиться из пары х = 0,111..., х = 0,999..., соответствующей точке на стороне квадрата, а такие точки мы условились не брать. Поэтому при отображении квадрата на отрезок точка г не будет образом ни одной точки квадрата.

Мы установили, таким образом, взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и частью точек отрезка [0; 1]. Это показывает, что множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают.

Немного изменив рассуждение, можно получить взаимно однозначное соответствие между всеми точками квадрата и всеми точками отрезка. Для этого надо несколько осторожнее тасовать цифры координат.

Возьмем снова не весь квадрат АВСД, а лишь его часть, получающуюся при отбрасывании сторон ВС и СД. Координаты точек этой части удовлетворяют неравенствам 0 ^ х< 1 и 0 ^ у< 1. Эти координаты можно записать в виде бесконечных десятичных дробей, причем, в силу сделанного выше условия, эти дроби не могут заканчиваться сплошными девятками.

А теперь разобьем цифры, входящие в десятичные записи х и у, на группы, ставя вертикальную черту после каждой цифры, отличной от девятки. Например, если

х = 0,3994599967...,    у = 0,959978090...,

то разбиение имеет вид

х - 3|994|5|9996|7|..., у - 95|997|8|0|90|...

Перетасуем полученные группы цифр так же, как раньше мы тасовали сами цифры. Получим бесконечную последовательность

групп цифр

3|95|994|997|5|8|9996|0|7|90|...

Поставим впереди этой последовательности нуль и опустим черточки. Получим десятичную дробь

z = 0,3959949975899960790...,

соответствующую точке квадрата M(ж; у).

Можно показать, что это соответствие между точками квадрата 0 ^ ж< 1, 0 ^ у < 1 и промежутка 0 ^ z < 1 взаимно однозначно. Теперь уже легко получить соответствие между точками всего квадрата ABCD и точками некоторого отрезка. Для этого достаточно взять отрезок длины 3 и взаимно однозначно отобразить часть квадрата 0 ^ ж< 1, 0 ^ у < 1 на промежуток 0 ^ z < 1, а ломаную BCD — на отрезок 1 ^ z ^ 3. *

Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколько и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие множества назвали множествами мощности континуума (от латинского continuumнепрерывный). Мощность континуума имеет и множество бесконечных телеграмм.



загрузка...