загрузка...
 
По порядку номеров.
Повернутись до змісту

По порядку номеров.

всех «функций», заданных на А и принимающих значения в В. Его мощность и есть пт.

Выше мы показали, что для любого множества А мощность множества функций, заданных на А и принимающих два значения 0 и 1, больше, чем мощность самого множества А. Это значит, что для любой мощности т выполняется неравенство 2т > т. Отметим еще, что с = 2^°. В самом деле, мы видели выше, что множество всех бесконечных телеграмм имеет мощность континуума. Но каждая бесконечная телеграмма есть не что иное, как функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая лишь два значения: точка и тире. Поэтому множество всех бесконечных телеграмм имеет мощность 2^°. Тем самым наше равенство доказано.

По порядку номеров...

Мощности множеств (или, как их еще называют, кардинальные числа) выполняют лишь половину работы натуральных чисел. Ведь натуральные числа применяются не только для того, чтобы ответить на вопрос «сколько?», но и для того, чтобы ответить на вопрос «какой по порядку?». Иными словами, мы говорим не только «два», «пять», «двадцать», но и «второй», «пятый», «двадцатый». А мощности ничего не говорят о том, в каком порядке идут элементы. И хотя множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество всех целых чисел, упорядочены они совсем по-разному. У множества натуральных чисел есть самый первый элемент, а у множества всех целых чисел первого элемента нет.

Поэтому, чтобы изучить порядок расположения элементов в множестве, кардинальных чисел (мощностей) недостаточно, нужны новые понятия. Сначала введем понятие упорядоченного множества.

Говорят, что множество А упорядочено, если для любой пары его элементов определено понятие неравенства а < Ь, обладающее следующими свойствами:

если а < Ь, то а = Ь;

если а < Ь и Ь < с, то а < с.

Легко упорядочить множества всех действительных чисел, всех рациональных чисел, всех натуральных чисел и т. д. В множество всех комплексных чисел тоже можно ввести порядок. Именно, мы скажем, что а + Ь* < с + й*, если либо а <  с,   либо а = с,    но   Ь < й.

Например, 2 + 15*< 3+10*, 2 + 4*< 2 + 5*.  Аналогичным образом
можно упорядочить множество всех многочленов. Разумеется, одно и то же множество можно упорядочить различными способами.

Например, рассмотрим множество всех различных слов, входящих в эту книгу. Это множество можно, например, упорядочить так: взять книгу и, читая ее подряд, выписывать все встречающиеся в ней слова в том порядке, как они встречаются. В этом случае закон упорядочивания можно сформулировать так: слово А предшествует слову В, если при чтении книги подряд слово А встречается ранее слова В.

Можно, однако, поступить и другим образом: считать, что слово А предшествует слову В, если слово А в алфавитном порядке предшествует слову В. Ясно, что эти два упорядочивания одного и того же множества окажутся различными.

Говорят, что два упорядоченных множества А и В имеют один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов. Иными словами, если ах ^ и а2 ^ 62, то из ах < а2 следует, что <62. Например, любые два отрезка имеют один и тот же порядковый тип. Отображение, показанное на рис. 28, сохраняет порядок точек. Сохраняет порядок и отображение всей прямой на промежуток (отрезок с отброшенными концами), изображенное на рис. 29. А вот отрезок и прямая имеют разные порядковые типы. Хотя между ними и можно установить взаимно однозначное соответствие, это соответствие обязательно нарушит порядок — ведь у отрезка есть начальная и конечная точки, а у всей прямой их нет.



загрузка...