загрузка...
 
Вполне упорядоченные множества
Повернутись до змісту

Вполне упорядоченные множества

Даже счетное множество может быть упорядочено самыми различными способами. Ведь счетными являются и множество всех натуральных чисел, и множество всех целых чисел, и множество всех рациональных чисел. А упорядочены эти множества совсем по-разному. В множестве натуральных чисел есть самый первый элемент (число 1), а ни во множестве всех целых чисел, ни во множестве всех рациональных чисел первого элемента нет. С другой стороны, во множествах натуральных и целых чисел можно указать пары элементов, между которыми нет других элементов этих множеств (например, числа 5 и 6), а во множестве всех рациональных чисел между любыми двумя элементами лежит бесконечно много других элементов того же множества.

Чтобы хоть как-нибудь разобраться в этом разнообразии упорядочений, Г. Кантор выделил особый класс упорядоченных множеств, некоторые свойства которых весьма напоминали свойства множества натуральных чисел. Если во множестве натуральных чисел выбрать любое непустое подмножество, то среди его элементов обязательно окажется самый меньший, самый левый. Множества, обладающие таким свойством, Г. Кантор назвал вполне упорядоченными. Иными словами, упорядоченное множество А называют вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество имеет первый элемент.

Как мы уже говорили, самым простым вполне упорядоченным множеством является множество натуральных чисел. Его можно изобразить точками 1, 2, 3, ... на луче (0; то). Но отображение прямой на промежуток, изображенное на рис. 29, сохраняет порядок точек. При этом луч (0; то) переходит в промежуток (0; 1). Поэтому вместо точек 1, 2, 3, ... можно брать точки на промежутке (0; 1). Мы получим бесконечное множество точек ах, а2, ..., ап, ..., приближающихся к точке 1 (см. рис. 33 а).

Рассмотрим теперь точку 1. Эту точку уже невозможно занумеровать обычными числами — мы истратили их на нумерацию точек ах, ..., ап, ... Чтобы занумеровать и эту точку, нам понадобится новое число, не являющееся натуральным. Так как точка 1 лежит за всеми точками ах, ..., ап, ..., которые уже занумерованы с помощью обычных чисел, то это новое число назовем «трансфинитным» (от латинских слов ^аш — через, Апйшконечный). Принято обозначать трансфинитное число, сразу идущее за всеми натуральными числами 1, 2, 3, ..., через и. Поэтому точку 1 обозначим а^. Множество А всех точек ах, ..., ап, ..., а^ также является вполне упорядоченным (подумайте, почему!).

А теперь возьмем и сдвинем получившееся множество Л вперед на 1. При этом точка аі перейдет в точку аі = а і + 1, точка а2 — в точку а2 = аі + 1 и т.д. В результате получится множество В, состоящее из точек аі, ..., аП, ..., а,'ш. Нетрудно проверить, что множество Л + В вполне упорядочено. Постараемся занумеровать его элементы. Точки множества Л мы уже умеем нумеровать. А точка аі идет сразу после точки аШ (см. рис. 33 б). Поэтому ее естественно занумеровать трансфинитным числом ш + 1, то есть положить аі = аш+і. Точно так же следующую точку, то есть а2, естественно занумеровать трансфинитным числом ш + 2 и т. д. А точку а'Ш, которая идет за всеми точками аШ+і, ..., аШ+п, ..., занумеруем трансфинитным числом 2ш: а'Ш = а2Ш.

Читатель, вероятно, уже догадался, что мы теперь сдвинем точки множества Л на 2 вправо и получим новые точки, которые надо нумеровать трансфинитными числами 2ш + 1, ..., 2ш + п, ..., 3ш. Продолжая таким же путем, мы получим вполне упорядоченное множество, состоящее из точек, нумеруемых трансфинитными числами вида кш + п, где к и п — натуральные числа.

Но на этом построение трансфинитных чисел не заканчивается. Ведь у нас снова получилось множество, расположенное на всем луче (0; то). При этом на каждом отрезке [п; п +1] этого луча есть бесконечно много точек нашего множества. Отобразим снова луч (0; то) на промежуток (0; 1). Мы получим множество точек, приближающихся к точке 1. Чтобы теперь занумеровать точку 1, понадобится новое трансфинитное число, которое обозначают через ш2. А дальше строят трансфинитные числа ш2 + 1, ..., ш3, ..., шп, ... и даже шШ. Есть и такое трансфинитное число:

ш

но мы не будем подробнее останавливаться на этих вопросах.



загрузка...