Когда перед математиками прежних времен вставал сложный геометрический вопрос, они в первую очередь отправлялись смотреть, что написано об этом у Евклида. Ведь на протяжении почти двух тысячелетий Евклид был эталоном математической строгости и энциклопедией геометрической мудрости. Не зря даже философы, стремясь обезопасить себя от упреков в нестрогости рассуждений, прибегали к языку Евклида и формулировали свои утверждения как аксиомы, леммы и теоремы.
Но как раз по интересующему нас вопросу у Евклида написано нечто совсем невнятное. Первые строки книги Евклида «Начала» гласят следующее.
Точка есть то, что не имеет частей.
Линия же длина без ширины.
Оконечность же линии — точка.
Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
Оконечность же поверхности — линия.
Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.
Нет, как хотите, а это — что угодно, но не строгие математические определения. Человек, не знающий, что такое точка, линия, поверхность, вряд ли почерпнет полезные для себя сведения из этих «определений», напоминающих ответ растерявшегося генерала («Линия — это особь статья, а поверхность — особь статья»). И уж во всяком случае из этих определений не удастся узнать, что такое ковер Сер-пинского — линия или поверхность, есть ли у него только длина без ширины или и длина, и ширина.
Но во времена Евклида таких сложных фигур, как ковер Серпин-ского, не знали, а для простых фигур определения были не слишком нужны: всякий и так мог увидеть, где на чертеже линия, а где — поверхность. Впрочем, и сам Евклид, по-видимому, чувствовал, что с определениями основных понятий у него не все ладно. Во всяком случае, приведя эти определения в начале книги, он потом начисто о них забыл и ни разу на протяжении всего труда ими не воспользовался.