загрузка...
 
«Недиссертабельная» тема
Повернутись до змісту

«Недиссертабельная» тема

Мы уже говорили, что у канторова определения был один недостаток: оно совсем не годилось для пространственных кривых. А уж что такое поверхность в пространстве — никто не знал. Эту задачу — выяснить, что такое пространственная кривая и поверхность в пространстве, — поставил летом 1921 года перед своим двадцатитрехлетним учеником Павлом Самуиловичем Урысоном маститый профессор Московского университета Дмитрий Федорович Егоров (как видно, он больше думал о математической значительности проблемы, чем, как теперь иногда говорят, о диссертабельности темы: задача-то была одной из труднейших!).

Вскоре Урысон понял, что задача Егорова лишь частный случай гораздо более общей проблемы: что такое размерность геометрической фигуры, то есть сколько измерений она имеет, почему надо говорить, что отрезок или окружность имеют размерность 1, квадрат — размерность 2, а куб или шар — размерность 3? Вот как вспоминал об этом периоде жизни П. С. Урысона его ближайший друг, в те годы такой же молодой аспирант, а впоследствии академик, почетный президент Московского математического общества Павел Сергеевич Александров:

«...Все лето 1921 года прошло в напряженных попытках найти настоящее определение (размерности), причем П. С. [Урысон] переходил от одного варианта к другому, постоянно строя примеры, показывавшие, почему тот или иной вариант надо отбросить. Это были два месяца действительно всепоглощающих размышлений. Наконец, в одно утро в конце августа П. С. проснулся с готовым, окончательным и всем теперь хорошо известным индуктивным определением размерности... В то же утро во время купания в Клязьме П. С. рассказал мне свое определение размерности и тут же, во время этого разговора, затянувшегося


на несколько часов, набросал план всего построения теории размерности с целым рядом теорем, бывших тогда гипотезами, за которые неизвестно было, как и взяться, и которые затем доказывались одна за другой в течение последующих месяцев. Никогда потом я не был участником или свидетелем математического разговора, который состоял бы из такого сплошного потока новых мыслей, как в то августовское утро. Вся набросанная тогда программа полностью осуществилась в течение зимы 1921/22 года; к весне 1922 года вся теория размерности была готова...».

Основная идея определения размерности по Урысону заключается в следующем. Чтобы отделить часть линии от всей остальной линии, обычно достаточно двух или нескольких точек (на рис. 69 часть четырехлепестковой розы, содержащая центр, отделяется от остальной розы восемью точками). Но часть поверхности уже невозможно отделить от всей поверхности несколькими точками — для этого обязательно потребуется целая линия, — сколько бы точек ни взять на поверхности, их всегда можно обойти. Точно так же часть трехмерного пространства отделяется от всего остального пространства поверхностью.

Все это надо было еще уточнить: на некоторых линиях для отделения части требуется бесконечно много точек, но эти точки не образуют в совокупности никакой линии. Урысону удалось точно сформулировать все нужные определения. В каком-то смысле его определения напоминали определения Евклида (оконечность линии — точки, оконечность поверхности — линии). Но это сходство примерно такое же, как между греческой триерой и современным океанским лайнером.



загрузка...