Короткий зміст: Приведення сили до заданого центра. Приведення системи сил до заданого центра. Умови рівноваги просторової системи паралельних сил. Умови рівноваги плоскої системи сил. Теорема про три моменти. Статично визначувані і статично невизначувані завдання. Рівновага системи тіл.
Приведення системи сил до заданого центра умови
рівноваги
Приведення сили до заданого центра.
Рівнодійна системи збіжних сил безпосередньо знаходиться за допомогою складання сил за правилом паралелограма. Очевидно, що аналогічне завдання можна буде вирішити і для довільної системи сил, якщо знайти для них метод, що дозволяє перенести всі сили в одну точку.
Теорема про паралельне
перенесення сили
Не змінюючи статичного стану твердого тіла, силу, прикладену до цього тіла, можна перенести в будь-яку його точку паралельно самій собі, додаючи при цьому приєднану пару. Момент приєднаної пари дорівнює моменту цієї сили відносно центра зведення.
Нехай сила прикладена в точці A. Дія цієї сили не змінюється, якщо в точці B прикласти дві зрівноважені сили. Отримана система трьох сил є силою , що дорівнює , але прикладеною в точці В, і парою з моментом Процес заміни сили силою і парою сил називається зведенням сили до заданого центра В.
Зведення системи сил до заданого центра.
Основна теорема статики. Довільну систему сил, що діють на тверде тіло, можна замінити однією з еквівалентних систем, яка:
складається з однієї сили, що прикладена в довільно обраному центрі зведення і дорівнює головному вектору цієї системи сил, і приєднаної пари сил, момент якої дорівнює головному моменту всіх сил відносно обраного центра зведення (теорема Пуансо);
складається з двох, у загальному випадку, мимобіжних сил, одна з яких прикладена в центрі зведення, а інша – в певній точці.
Головним вектором системи сил називається векторна сума всіх сил, які входять у систему:
.
Головним моментом системи сил відносно точки О (центра зведення) називається векторна сума моментів усіх сил, що входять у систему, відносно того самого центра:
,
де – радіус-вектор, проведений з центра О в точку прикладання сили
Формули для обчислення головного
вектора і головного моменту:
,
,
,
,
Формули для обчислення модуля та напрямних
косинусів головного вектора і головного моменту:
, ,
,
,
Умови рівноваги системи сил
Векторна форма .
Теорема. Для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб головний вектор системи сил дорівнював нулю і головний момент системи сил відносно будь-якого центра зведення також дорівнював нулю.
,
Алгебраїчна форма
Для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і досить, щоб три суми проекцій всіх сил на осі декартових координат дорівнювали нулю і три суми моментів усіх сил відносно трьох осей координат також дорівнювали нулю:
,
, , .
Умови рівноваги просторової системи паралельних сил
На тіло діє система паралельних сил. Розташуємо вісь Oz паралельно силам.
Рівняння: , ,
Для рівноваги просторової системи паралельних сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб сума проекцій цих сил дорівнювала нулю і суми моментів цих сил відносно двох координатних осей, перпендикулярних до сил, також дорівнювали нулю:
, , .
– проекція сили на ось Oz.
Плоска система сил
Умови рівноваги плоскої системи сил
На тіло діє плоска система сил. Розташуємо осі Ox і Oy в площині дії сил.
Рівняння .
Для рівноваги плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на кожну з двох прямокутних осей координат, розташованих у площині дії сил, дорівнювали нулю і сума моментів цих сил відносно будь-якої точки, що знаходиться в площині дії сил також дорівнювала нулю.
, , .
Теорема про три моменти.
Для рівноваги плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, необхідно й достатньо, щоб суми моментів цих сил системи відносно трьох будь-яких точок, розташованих у площині дії сил, і таких, що не лежать на одній прямій, дорівнювали нулю:
Статично визначувані та статично невизначуванізавдання
Для будь-якої плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, є три незалежні умови рівноваги. Отже, для будь-якої плоскої системи сил з умов рівноваги можна знайти не більше трьох невідомих. У разі просторової системи сил, що діють на тверде тіло, є шість незалежних умов рівноваги. Отже, для будь-якої просторової системи сил з умов рівноваги можна знайти не більше шести невідомих.
Завдання, в яких число невідомих не більше числа незалежних умов рівноваги для даної системи сил, прикладених до твердого тіла, називаються статично визначувані.
Інакше завдання статично невизначувані.
Рівновага системи тіл
Розглянемо рівновагу сил, прикладених до системи тіл, що взаємодіють між собою. Тіла можуть бути сполучені між собою за допомогою шарнірів або іншим способом.
Сили, що діють на дану систему тіл, можна розділити на зовнішні та внутрішні.
Зовнішніми називаються сили, з якими на тіла даної системи діють тіла, що не входять в цю систему сил.
Внутрішніми називаються сили взаємодії між тілами даної системи.
При розгляді рівноваги сил, прикладених до системи тіл, можна подумки розчленувати систему тіл на окремі тверді тіла і до сил, що діють на ці тіла, застосувати умови рівноваги, отримані для одного тіла. До цих умов рівноваги ввійдуть як зовнішні, так і внутрішні сили системи тіл. Внутрішні сили на підставі аксіоми про рівність сил дії і протидії в кожній точці зчленування двох тіл утворюють рівноважну систему сил.
Покажемо це на прикладі системи двох тіл і плоскої системи сил.
Якщо скласти умови рівноваги для кожного твердого тіла системи тіл, то для тіла 1 :
,
для тіла 2
.
Крім того, з аксіоми про рівність сил дії та протидії для двох взаємодіючих тіл маємо
.
Наведені рівності і є умовами рівноваги зовнішніх сил, що діють на систему.
Реакція защемлення
Розглянемо балку, один кінець якої АВ закладений у стіну. Таке кріплення кінця балки АВ називається защемленням у точці В. Нехай на балку діє плоска система сил. Визначимо сили, які треба прикласти до точки В балки, якщо частину балки АВ відкинути. До перетину балки (В) прикладені розподілені сили реакції. Якщо ці сили замінити елементарними зосередженими силами і потім привести їх до точки В, то в точці В отримаємо силу (головний вектор сил реакції) і пару сил з моментом М (головний вектор сил реакції відносно точки В). Момент М називають моментом защемлення, або реактивним моментом. Силу реакції можна замінити двома складовими і .
Защемлення на відміну від шарніра створює не лише невідому за величиною і напрямком реакцію , але ще і пару сил із невідомим моментом М у защемленні.