Лекция 7

Лекция 7

Короткий зміст: Тертя ковзання. Закони Кулона. Кут і конус тертя. Умови рівноваги. Тертя кочення.

Тертя

Тертя ковзання

Досвід показує, що при прагненні рухати одне тіло по поверхні іншого в площини зіткнення тіл виникає сила опору їх відносному ковзанню. Цю силу називають силою тертя ковзання.

Якщо тверде тіло знаходиться на абсолютно гладкій поверхні іншого тіла  в рівновазі, то реакція зв'язку напрямлена по нормалі до поверхні.

 Насправді абсолютно гладких поверхонь не буває. Всі поверхні тіл  тією або іншою мірою шорсткі. Тому сила реакції  шорсткій поверхні при рівновазі тіла залежить від активних сил не лише за числовою величиною, але й за напрямом.

Розкладемо силу реакції  шорсткій поверхні на складові:

одну з яких  спрямуємо по загальній нормалі до поверхні зіткнення, а іншу  спрямуємо в дотичній площині до цих поверхонь.

Силою тертя ковзання  (або просто силою тертя) називається складова сили реакції в'язі, яка лежить в дотичній площині до поверхонь дотичних тіл.

Силою нормальної реакції в'язі називається складова сили реакції в'язі, яка напрямлена по загальній нормалі до поверхонь дотичних тіл:

.

Природа сили тертя дуже складна і ми її не розглядаємо. У теоретичній механіці  передбачається, що між поверхнями дотичних тіл немає змащувальної речовини.

Сухим тертям називається тертя, коли між поверхнями дотичних тіл немає змащувальної речовини.

Розглядатимемо два випадки:тертя при спокої або рівновазі тіла і тертя ковзання при русі одного тіла по поверхні іншого з деякою відносною швидкістю.

При спокої сила тертя залежить лише від активних сил. При вибраному напрямі дотичної в точці зіткнення поверхонь тіл сила тертя обчислюється за формулою:

.

Аналогічно при вибраному напрямі нормалі нормальна реакція виражається через задані сили:

.

При русі одного тіла по поверхні іншого сила тертя є постійною величиною.

У інженерних розрахунках зазвичай виходять з ряду встановлених дослідним шляхом закономірностей, які з достатньою для практики точністю відображають основні особливості явища сухого тертя. Ці закономірності називаються законами тертя ковзання, або законами Кулона.

Закони Кулона

Сила тертя ковзання знаходиться в загальній дотичній площині дотичних поверхонь тіл і напрямлена убік, протилежний до напряму можливого ковзання тіла під дією активних сил. Сила тертя залежить від активних сил, а її модуль знаходиться між нулем і максимальним значенням, яке досягається у момент виходу тіла з положення рівноваги, тобто:

,

 – називається граничною силою тертя.

Гранична сила тертя ковзання за інших рівних умов не залежить від площі зіткнення поверхонь, що труться. З цього закону випливає, що для того, щоб зрушити, наприклад цеглину, необхідно прикласти одну і ту ж саму, силу, незалежно, від того, якою гранню він покладений на поверхню, широкою або вузькою.

Гранична сила тертя ковзання пропорційна нормальній реакції (нормальному тиску), тобто

,

де безрозмірний коефіцієнт  називають коефіцієнтом тертя ковзання; він не залежить від нормальної реакції.

Коефіцієнт тертя ковзання залежить від матеріалу і фізичного стану поверхонь, що труться, тобто від величини і характеру шорсткості, вологості, температури та інших умов. Коефіцієнт тертя встановлюється експериментально.

Вважається, що коефіцієнт тертя не залежить від швидкості руху.

Кут тертя. Умови рівноваги

Багато завдань на рівновагу тіла на шорсткій поверхні, тобто за наявності тертя, зручно вирішувати геометрично. Для цього введемо поняття кута і конуса тертя.

Реакція реальної (шорсткої) в'язі  складається з двох складових: нормальній реакції  і перпендикулярної до неї сили тертя . Як наслідок, реакція в'язі  відхиляється від нормалі до поверхні на деякий кут. При зміні сили тертя від нуля до максимальної, сила реакції  змінюється от нуля до , а її кут з нормаллю зростає від нуля до деякого граничного значення ?.

Кутом тертя називається найбільший кут  між граничною силою реакції шорсткої в'язі    і  нормальною реакцією :

;.

Кут тертя  залежить від коефіцієнта тертя.

Конусом тертя називають конус, описаний граничною силою реакції шорсткої в'язі   навколо напряму нормальній реакції.

Приклад

 Якщо до тіла, що лежить на шорсткій поверхні, прикласти силу Р, що утворює кут  з нормаллю, то тіло зрушиться лише тоді, коли  зрушувальне зусилля   буде більше граничної сили тертя  (якщо знехтувати вагою тіла, то, ) але нерівність

виконується лише за умови  , тобто при .

Як наслідок, ніякою силою, що утворює з нормаллю кут , менший кута тертя  ,тіло вздовж даної поверхні зсунути неможливо.

Для рівноваги твердого тіла на шорсткій поверхні необхідно і досить, щоб лінія дії рівнодійної активних сил, що діють на тверде тіло, проходила всередині конуса тертя або по його твірний через його вершину.

Тіло не можна вивести з рівноваги будь-якою за модулем активною силою, якщо її лінія дії проходить усередині конуса тертя.

Приклад

                Розглянемо тіло, що має вертикальну площину симетрії. Перетин тіла цієї площини має форму прямокутника. Ширина тіла дорівнює 2a.

До тіла в точці С, що лежить на осі симетрії, прикладена вертикальна сила  і в точці А, що лежить на відстані h  від основи,  горизонтальна сила . Реакція площини основи (реакція в'язі) приводиться до нормальної реакції  і сили тертя . Лінія дії сили  невідома. Відстань від точки С до лінії дії сили  позначимо x. (). Складемо три рівняння рівноваги:

Згідно з законом Кулона ,тобто . (1)

Оскільки  ,то .                               (2)

Проаналізуємо отримані результати:

Будемо збільшувати силу .

Якщо , то рівновага матиме місце до тих пір, поки сила тертя не досягне своєї граничної величини, умова (1) перетвориться на рівність. Подальше збільшення сили приведе до ковзання тіла по поверхні.

Якщо , то рівновага матиме місце до тих пір, поки сила тертя не досягне величини  ,умова (2) перетвориться в рівність. Величина x буде дорівнювати h. Подальше збільшення сили приведе до того, що тіло стане обертатися навколо точки B (ковзання не буде).

Тертя кочення

Тертям кочення називається опір, що виникає при коченні одного тіла по поверхні іншого.

Розглянемо циліндричний каток радіуса r на горизонтальній площині. Під катка і площина – в місці їх зіткнення можуть виникнути реакції,що перешкоджають дії активних сил – каток може котитися по площині. Через  деформацію поверхонь існує перешкода не лише ковзанню, але і коченню.

Активні сили, що діють на катки у вигляді коліс, зазвичай складаються з сили ваги горизонтальної сили , прикладеної до центра катка, і пари сил із моментом , що прагне котити колесо. Колесо в цьому випадку називається ведено-ведучим. Якщо , а , то колесо називається веденим. Якщо , а , то колесо називається таким, ведучим.

Зіткнення катка з нерухомою площиною через деформацію катка і плоскості відбувається не в точці, а по деякій лінії BD. По цій лінії на каток діють розподілені сили реакції. Якщо привести сили реакції до точки А, то в цій точці отримаємо головний вектор  цих розподілених сил зі складовими  (нормальна реакція) і  (сила тертя ковзання), а також пару сил з моментом .

 Розглянемо рівновагу катка. Система сил – плоска. Запишемо рівняння рівноваги системи сил.

(x)                           ,

(y)                           ,

(MA)      .

Момент  називається моментом тертя кочення. Найбільше значення М досягається у момент початку кочення катка по площині.

Установлені такі наближені закони для найбільшого моменту пари сил, що перешкоджають коченню.

1.  Найбільший момент пари сил, що перешкоджають коченню,в досить широких межах не залежить від радіуса катка.

2.  Граничне значення моменту  пропорційне нормальній реакції .

.

Коефіцієнт пропорційності  називають коефіцієнтом тертя кочення за умови спокою. Розмірність  – це розмірність довжини.

3.  Коефіцієнт тертя кочення  залежить від матеріалу катка, плоскості та фізичного стану їх поверхонь. Коефіцієнт тертя кочення при коченні в першому наближенні можна вважати не- залежним від кутової швидкості кочення катка і його швидкості ковзання по площині.

Для вагонного колеса по рейці  мм.

Розглянемо рух веденого колеса:, а .

Кочення колеса почнеться, коли виконається умова або

Ковзання колеса почнеться, коли виконається умова .

Зазвичай співвідношення  і кочення починається раніше ковзання.

Якщо , то колесо буде ковзати по поверхні, без кочення.

Наявність тертя не змінює методику розв’язання задач статики. Реакції в’язей за наявності тертя кочення визначають за формулою

.

Більш повне вивчення тертя ковзання виходить за рамки механіки твердого тіла.