загрузка...
 
Лекція 8
Повернутись до змісту

Лекція 8

Короткий зміст: Плоскі ферми. Метод вирізання вузлів. Метод Ріттера.

Розрахунок плоских ферм

Приклад розв’язання задач на рівновагу системи тіл дає розрахунок ферм. Фермою називається жорстка конструкція із прямолінійних стрижнів, що з’єднані між собою шарнірами. Якщо всі стрижні ферми лежать в одній площині,ферму називають плоскою. Місця з’єднання стрижнів ферми називають вузлами.

За своїм призначенням найчастіше ферми поділяють на мостові, кроквяні та кранові (рис. 8.1).

При розрахунку ферми тертям у вузлах і вагою стрижнів

(порівняно з зовнішніми навантаженнями) нехтують або розподіляють вагу стрижнів по вузлах. Тоді на кожний із стрижнів ферми будуть діяти дві сили, прикладені до їх кінців, які за умови рівноваги можуть бути спрямовані тільки вздовж стрижня. Як наслідок, можна вважати, що стрижневі ферми працюють тільки на розтяг або стиск. Обмежимося розглядом жорстких плоских ферм без зайвих стрижнів, що утворені з трикутників. У  таких фермах число стрижнів  і число вузлів  пов’язані співвідношенням

.

Насправді, в жорсткому трикутнику, утвореному з трьох стрижнів, буде три вузли (див., наприклад, на рис. трикутник , утворений стрижнями 4, 5, вузол  – стрижнями 6, 7, і т.д.); як наслідок, для всіх інших () вузлів знадобиться стрижнів. В результаті число стрижнів у фермі . При меншому числі стрижнів  ферма не буде жорсткою, при більшому числі вона буде статично невизначуваною.

Розрахунок ферми зводиться до визначення опорних реакцій і зусиль в її стрижнях.

Опорні реакції можна знайти звичайними методами статики, розглядаючи ферму в цілому як тверде тіло. Перейдемо до визначення зусиль в стрижнях.

Метод вирізання вузлів. Цим методом зазвичай користуються, коли необхідно знайти зусилля в усіх стрижнях ферми. Він зводиться до послідовного розгляду умов рівноваги сил,що сходяться в кожному з вузлів. Хід розрахунків пояснимо на прикладі.

Розглянемо зображену на рис.8.2 ферму, утворену з однакових рівнобедрених трикутників, силу, що діє на ферму, паралельні осі  і чисельно рівні:.

У цій фермі число вузлів , а число стрижнів . Як наслідок, співвідношення виконується і ферма є жорсткою без зайвих стрижнів.

Складаючи рівняння рівноваги для ферми в цілому, знайдемо, що реакції опор спрямовані, як показано на рисунку, і чисельно дорівнюють:

,

.

Переходимо до визначення зусиль в стрижнях. Пронумеруємо вузли ферми римськими цифрами, а стрижні – арабськими. Шукані зусилля позначимо  ( стрижні 1),  ( стрижні 2) і т. д. Виріжемо уявно всі вузли разом зі стрижнями, що сходяться від ферми. Дію відкинутих стрижнів замінимо силами, які будуть спрямовані вздовж відповідних стрижнів, і чисельно дорівнюватимуть шуканим зусиллям Зображаємо відразу всі ці сили на рисунку, спрямовуючи їх від вузлів, тобто вважаючи всі стрижні розтягнутими (рис. 8.2 а); зображену картину потрібно уявити собі для кожного вузла так, як це показано на рис. 8.2 б для вузла ІІІ). Якщо в результаті розрахунку значення зусилля в  якому - небудь стрижні буде від`ємним, це буде означати, що даний стрижень не розтягується, а стискається. Літерних позначень для сил, що діють вздовж стрижнів, не вводимо, оскільки зрозуміло, що сили, що діють вздовж стрижня 1, дорівнюють чисельно , вздовж стрижня 2 –  і т. д.

Тепер для сил, що сходяться в кожному вузлі, складаємо послідовно рівняння рівноваги:

.

Почнемо з вузла І, де сходяться два стрижні, оскільки з двох рівнянь рівноваги можна визначити лише два невідомих зусилля.

Складаючи рівняння рівноваги для вузла І, отримаємо:

.

Звідси знаходимо:

Тепер, знаючи , переходимо до вузла ІІ. Для нього рівняння рівноваги дають , звідки

.

Визначивши , складаємо аналогічним шляхом рівняння рівноваги спочатку для вузла ІІІ, а потім для вузла ІV. З цих рівнянь знаходимо:

.

Нарешті, для обчислення  складаємо рівняння рівноваги сил, що сходяться у вузлі V, проектуючи їх на вісь . Отримаємо , звідки  .

Друге рівняння рівноваги для вузла V і два рівняння для вузла VІ можна скласти як перевірені. Для знаходження зусиль в стрижнях ці рівняння не знадобилися, оскільки замість них були використані три рівняння рівноваги всієї ферми в цілому при визначенні  і.

Кінцеві результати розрахунку можна звести у таблицю:

Номер

стрижня

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Зусилля, кН

-10

-28,2

-20

-10

14,1

-30

0

-30

-42,3

Як показують знаки зусиль, стрижень 5 розтягнутий, інші стрижні стиснуті, стрижень 7 не навантажений (нульовий стрижень).

Наявність в фермі нульових стрижнів, подібних до стрижня 7, виявляється одразу, оскількі якщо у вузлі, не навантаженому зовнішніми силами, сходяться три стрижні, із яких два спрямовані вздовж однієї прямої, то зусилля в третьому стрижні дорівнює нулю. Цей результат випливає з рівняння рівноваги проекції на вісь, перпендикулярну до згаданих двох стрижнів. Наприклад, у фермі, зображеній на рис. 8.3, за відсутності сили  нульовим буде стрижень 15, і, як наслідок, 13. За наявності ж сили  ні один з цих стрижнів нульовим не є.

Якщо у ході розрахунку зустрінеться вузол, для якого число невідомих більше двох, то можна використати метод перетинів.

Метод перетинів (метод Ріттера). Цим методом доцільно користуватися для визначення зусиль в окремих стрижнях ферми, зокрема для перевірних розрахунків. Ідея методу полягає в тому, що ферму розділяють на дві частини перетином, що проходить через три стрижні,в яких (або в одному з яких) необхідно визначити зусилля, і розглядають рівновагу однієї з цих частин. Дію відкинутої частини замінюють відповідними силами, спрямовуючи їх уздовж розрізаних стержнів від вузлів, тобто вважаючи стрижні розтягнутими (як і в методі вирізання вузлів). Потім складають рівняння рівноваги,беручи центри моментів (або вісь проекцій) так, щоб у кожне рівняння ввійшло тільки одне невідоме зусилля.

Приклад. Нехай потрібно визначити зусилля в стрижні 6 ферми, зображеної на рис. 8.3. Діючі вертикальні сили , реакції опор . Проводимо перетин  через стрижні 4, 5, 6 і розглядаємо рівновагу лівої частини ферми, замінюючи дію на неї правої частини силами, спрямованими вздовж стрижнів 4, 5, 6. Щоб знайти , складаємо рівняння моментів відносно точки , де перетинаються стрижні 4 і 5. Отримаємо, вважаючи  і ,

.

Звідси знаходимо . Плече  визначаємо за даними, що визначають напрямок і розміри стрижнів ферми.

У цьому  прикладі  і .

 Як наслідок, , стрижень розтягнутий.

Зусилля в стрижнях 4 і 5 можна знайти склавши рівняння моментів відносно центрів  (точка перетину стрижнів 5 і 6) і  (точка перетину стрижнів 4 і 6).

Щоб визначити зусилля в стрижні 9 тієї ж ферми, проводимо перетин  через стрижні 8, 9, 10 і, розглядаючи рівновагу правої частини, складаємо рівняння проекцій на вісь, перпендикулярну до стрижнів 8 і 10. Отримаємо

,

звідки знаходимо . Зусилля в стрижнях 8 і 10 можна в цьому випадку знайти склавши рівняння моментів відносно центрів  і .



загрузка...