Лекція 14

Короткий зміст: Плоский рух твердого тіла. Рівняння плоского руху. Розкладання плоского руху на поступальний і обертальний рух. Кутова швидкість і кутове прискорення при плоскому русі. Швидкості точок тіла при плоскому русі. Миттєвий центра швидкостей. Методи знаходження положення миттєвого центру швидкостей.

Плоский рух твердого тіла

Плоским рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому кожна його точка весь час рухається в одній і тій самій площині.

Площина, в якій рухаються окремі точки тіла, паралельна між собою і паралельні одній і тій же нерухомій площині. Плоский рух твердого тіла часто називають плоскопаралельним. Траєкторії точок тіла при плоскому русі є плоскими кривими.

Плоский рух твердого тіла має велике значення в техніці. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі є окремим випадком руху твердого тіла.

При вивченні плоского руху, як і будь-якого іншого, необхідно розглянути способи задання цього руху, а також прийоми обчислення швидкостей і прискорень точок тіла.

Якщо в тілі провести деяку пряму О1О2, перпендикулярну до площини, в якій відбувається рух точок, то всі точки цієї прямої рухатимуться по однакових траєкторіях із однаковими швидкостями і прискореннями; сама пряма буде, природно, зберігати свою орієнтацію в просторі. Таким чином, при плоскому русі твердого тіла досить розглянути рух одного з перетинів тіла.

Перетин твердого тіла називатимемо плоскою фігурою. Положення фігури на її площині повністю визначається положенням відрізка прямої лінії, що жорстко скріплена з цією плоскою фігурою.

Рівняння плоского руху твердого тіла

Для задання положення плоскої фігури на площині відносно системи координат , що лежить в площині фігури, досить задати на цій площині положення відрізка АВ, скріпленого з фігурою.

Положення відрізка АВ, відносно системи координат визначається заданням координат якої-небудь точки цього відрізка і його напряму. Наприклад, координати точки А () і напрямок, заданий кутом .

Рівняння руху плоскої фігури відносно системи координат мають вигляд: .

Тверде тіло при плоскому русі має три ступені свободи.

Функції

називаються рівняннями плоского руху твердого тіла.

Перейдемо до вивчення руху окремої точки твердого тіла. Перейдемо до вивчення руху окремої точки твердого тіла. Положення будь-якої точки М плоскої фігури відносно рухомої системи відліку x і y точки М (рис. 14.3).

Між координатами точки М в різних системах відліку існує зв’язок.

(6.1)

де – довжина відрізка ОМ; – постійний кут між ОМ і віссю . З урахуванням виразів і

отримуємо

(6.2)

Формули (6-2) є рівняннями руху точки М плоскої фігури відносно координат . Ці формули дозволяють визначити координати будь-якої точки плоскої фігури за заданих рівняннях руху цієї фігури і координатами цієї точки відносно рухомої системи відліку, що скріплена з рухомою фігурою.

Використовуючи матрично-векторні позначення, рівняння (6.2) можна записати в такій формі:

,,,,	(6.3)

де А – матриця повороту на площині:

, , ,.

Розкладання плоского руху на поступальний і обертальний рух

Теорема. Будь-який рух твердого тіла, у тому числі і рух плоскої фігури в її площині, безліччю способів можна розкласти на два рухи, один із яких переносний, а інший – відносний.

Зокрема, рух плоскої фігури в її площині відносно системи , розташованої в тій самій площині, можна розкласти на переносний і відносний рух таким чином. Візьмемо за переносний рух фігури її рух разом з поступально рухомою системою координат , початок якої скріплений з точкою О фігури, взятою за полюс. Тоді відносний рух фігури буде відносно до рухомої системи координат обертанням навколо рухомої осі, перпендикулярної до плоскої фігури і таким, що проходить через вибраний полюс.

Для доведення цього досить показати, що плоску фігуру в її площині з одного положення в будь-яке інше можна перевести двома переміщеннями – поступальним переміщенням у площині фігури разом із якимось полюсом і поворотом в тій самій площині навколо цього полюса.

Розглянемо два будь-яких положення плоскої фігури 1 і 2. Виділимо відрізок АВ в даній фігурі. Переведення фігури з положення 1 в положення 2 можна розглядати як суперпозицію двох рухів: поступального з 1 в 1'' і обертального з 1' в 2 навколо точки A', що зазвичай називається полюсом (рис. 6-4а). Істотно, що як полюс можна вибрати будь-яку точку, що належить фігурі або навіть таку що лежить в площині поза фігурою. На рис. 6-4б, наприклад, як полюс вибрана точка В. Зверніть увагу: довжина шляху при поступальному переміщенні змінилася (в даному випадку збільшилася), але кут повороту залишився тим самим!

Кутова швидкість і кутове прискорення тіла при плоскому русі

Для характеристики обертальної частини плоского руху твердого тіла навколо рухомої осі, що проходить через вибраний полюс, вводиться поняття кутової швидкості і кутового прискорення .

і , де – одиничний вектор, спрямований по осі обертання.

Якщо кут повороту навколо рухомої осі, що проходить через полюс, позначити , то , а .

Вектори і можна зобразити в будь-яких точках рухомої осі обертання, тобто вони є вільними векторами.

Швидкості точок тіла при плоскому русі

Теорема. Швидкість якої-небудь точки фігури при

її плоскому русі дорівнює векторній сумі швидкості полюса і відносної швидкості цієї точки від обертання фігури навколо полюса.

Застосовуючи до плоского руху теорему про складання швидкостей для якої-небудь точки В фігури, отримуємо , де абсолютна швидкість точки В плоскої фігури; – швидкість точки В переносного поступального руху плоскої фігури разом, наприклад, із точкою А цієї фігури; – швидкість точки B у відносному русі, яким є обертання плоскої фігури навколо точки А з кутовою швидкістю ?.

Оскільки за переносний рух вибраний поступальний рух разом із точкою А, то у всіх точок плоскої фігури однакові переносні швидкості, що збігаються з абсолютною швидкістю точки А, тобто .

Швидкість відносного руху у разі, коли він є обертальним рухом, дорівнює .

Швидкість розташована в площині рухомої фігури і напрямлена перпендикулярно до відрізка АВ, що з’єднує точку В з полюсом А. Цю відносну швидкість можна виразити у вигляді векторного добутку , де кутова швидкість вважається напрямленою по рухомій осі обертання, що проходить через точку А і перпендикулярно до площини фігури. Відносну швидкість позначимо . Це позначення показує, що швидкість відносного руху точки В отримується від обертання плоскої фігури навколо рухомої осі, що проходить через точку А, або просто навколо точки А:

, де ,

що й потрібно було довести.

Миттєвий центр швидкостей

Миттєвим центром швидкостей називається точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Теорема. У кожен момент часу при плоскому русі фігури в її площині при (непоступальний рух) є один-єдиний центр швидкості.

Для доведення досить зазначити спосіб знаходження миттєвого центра швидкостей, якщо відомі швидкість якої-небудь точки О плоскої фігури і її кутова швидкість в даний момент часу:

, , як наслідок,

Миттєвий центр швидкостей знаходиться на перпенди-кулярі до швидкості , проведеному з точки О, на відстані .

Миттєвий центр швидкостей – це єдина точка плоскої фігури для даного моменту часу. У інший момент часу миттєвим центром швидкостей буде вже інша точка.

Візьмемо точку Р за полюс

Оскільки , то . Аналогічний результат виходить для будь-якої іншої точки плоскої фігури:

Швидкості точок плоскої фігури визначаються в даний момент так, якби рух фігури був обертанням навколо миттєвого центра швидкостей.

Швидкості точок плоскої фігури пропорційні їх відстаням до миттєвого центра швидкостей.

Методи знаходження положення МЦШ

1. Відомий вектор швидкості якої-небудь точки A плоскої фігури і її кутова швидкість .
МЦШ (точка P) знаходиться на перпендикулярі до вектора, проведеного через точку A. Відстань і відкладається у бік, який вказує вектор після повороту на кут в напрямку дугової стрілки . При цьому випливає, що швидкість ()
2. Відомі не паралельні один одному швидкості і двох точок плоскої фігури.
МЦШ (точка P) знаходиться в точці перетину перпендикулярів, проведених через точки A і B до швидкостей цих точок. Кутова швидкість плоскої фігури дорівнює . Відзначимо, що для знаходження лише положення МЦШ досить знати лише напрями швидкостей двох точок .
3. Відомі паралельні один одному швидкості і точок A і B плоскої фігури, перпендикулярні до відрізка AB, спрямовані в один бік і не рівні за модулем ().
МЦШ (точка P) знаходиться в точці перетину продовження відрізка AB і прямою, проведеною через кінці векторів і . При заданій довжині відрізка AB відстані від МЦШ до точок A і B визначаються з пропорції . Кутова швидкість фігури . Випадок рівності () див. п. 6.
4. Відомі паралельні один одному швидкості і точок A і B плоскої фігури, перпендикулярні до відрізка AB, спрямовані в різні боки.
МЦШ (точка P) знаходиться в точці перетину відрізка AB і прямої, проведеної через кінці векторів і . При заданій довжині відрізка AB відстані від МЦШ до точок A і B визначаються з пропорції: . Кутова швидкість фігури .
5. Плоска фігура котиться без ковзання по нерухомій кривій.
МЦШ (точка P) знаходиться в точці зіткнення фігури з кривою, оскільки швидкості точок фігури і нерухомої кривої, що знаходяться в зіткненні, рівні між собою і, отже, дорівнюють нулю. Якщо відома швидкість якої-небудь точки A фігури, то кутова швидкість .
6. Відомо, що швидкості і двох точок плоскої фігури паралельні один одному і не перпендикулярні до відрізка AB.
МЦШ в даний момент часу не існує або, іншими словами, знаходиться в нескінченності. Кутова швидкість плоскої фігури в даний момент дорівнює нулю. Рух фігури називається миттєво-поступальним. Швидкості всіх точок фігури рівні .