ДИНАМІКА. Лекція 17

Короткий зміст: Введення в динаміку. Аксіоми класичної механіки. Системи одиниць. Диференціальні рівняння руху точки. Основні задачі динаміки. Основні види прямолінійного руху точки.

Введення

У динаміці вивчаються механічні рухи матеріальних об'єктів під дією сил. Найпростішим матеріальним об'єктом є матеріальна точка.

Матеріальна точка – це модель матеріального тіла будь-якої форми, розмірами якого можна знехтувати і прийняти за геометричну точку, що має певну масу.

Більш складні матеріальні об'єкти – механічні системи і тверді тіла – складаються з набору матеріальних точок.

Рух матеріальних об'єктів завжди відбувається в просторі відносно певної системи відліку і в часі. Простір вважається тривимірним евклідова простору, властивості якого не залежать від рухомих у ньому матеріальних об'єктів.

Час у класичній механіці не пов'язаний з простором і рухом матеріальних об'єктів. У всіх системах відліку, рухомих один відносно одного, він протікає однаково.

Аксіоми класичної механіки

Перша аксіома або закон інерції. Матеріальна точка, на яку не діють сили або діє рівноважна система сил, має здатність зберігати свій стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху щодо інерційної системи відліку.

Матеріальна точка, на яку діє рівноважна система сил, називається ізольованою точкою.

Рівномірний і прямолінійний рух точки називається рухом по інерції.

Друга аксіома, або основний закон динаміки. Прискорення матеріальної точки відносно інерційної системи відліку пропорційнеприкладеній до точки силі та напрямлено по цій силі:

Позитивний коефіцієнт пропорційності m характеризує інертні властивості матеріальної точки і називається масою точки.

Маса не залежить від характеристик руху точки і від природи сил. Маса вважається постійною величиною і залежить тільки від самої матеріальної точки.

Сила, прикладена до матеріальної точки, завжди має матеріальне джерело у вигляді інших матеріальних тіл, які діють на точку шляхом контакту при безпосередньому зіткненні з нею або на відстані через посередництво силових полів.

Третя аксіома, або закон про рівність сил дії і протидії. Сили взаємодії двох матеріальних точок рівні за величиною і протилежні за напрямом:

Четверта аксіома, або закон незалежної дії сил. При одночасній дії на матеріальну точку декількох сил прискорення точки відносно інерційної системи відліку від дії кожної окремої сили не залежить від наявності інших, доданих до точки, сил та повне прискорення одно векторної суми прискорень від дії окремих сил.

, .

Аксіоми класичної механіки добре узгоджуються з результатами дослідів.

Системи одиниць

	СГС	Си	Технічна
[L]	см	м	м
[M]	г	кг	Т.е.м.
[T]	сек	сек	сек
[F]	дина	Н	кГ
[v]	см/сек	м/сек	м/сек
[a]	см/сек2	м/сек2	м/сек2
[L]

1 кГ = 9.8 Н, 36 км/час = 10 м/сек,

1 Т.е.м. = 9.8 кг

Диференціальні рівняння руху точки

Основне рівняння динаміки можна записати так або так .

Проектуючи рівняння на осі координат, отримуємо

, , ,

оскільки , , , то

, , .

Окремі випадки:

А) Точка рухається в площині. Вибираємо в площині координати xOy, отримуємо , , .

Б) Точка рухається по прямій. Вибираємо на прямий координату Ox, отримуємо , , .

Основне рівняння динаміки можна спроектувати на природні рухові осі.

Ця форма рівнянь зручна для дослідження деяких випадків польоту снарядів і ракет:

Основні задачі динаміки

Перша, або пряма задача

Відомі маса точки і закон її руху, необхідно знайти силу, що діє на точку.

m .

Обчислюємо другі похідні за часом від координат точки, множимо їх на масу і отримуємо проекції сили на осі координат :

Знаючи проекції сили на осі координат, визначаємо модуль сили та її напрямні косинуси:

Приклад 1. Рух точки в площині xOy визначається рівняннями:

;;;час.

Розв’язання:

;

; ;

Рівняння траєкторії в координатній формі (еліпс):

;

Приклад 2. Крапка, що має масу , рухається зі стану спокою по колу радіуса з постійним дотичним прискоренням . Визначити силу,що діє на точку в момент, коли вона пройде по траєкторії відстань. .

Розв’язання: Застосовуючи диференціальні рівняння руху точки в проекції на природні осі, маємо:

;

Оскільки , то , ;

;;

;

отже ;; отже

Друга задача або зворотна завдача:

Відомі маса точки і сила, що діє на точку, необхідно визна-чити закон рух цієї точки.

Розглянемо розв’язання цієї задачі в декартовій системі координат. Сила залежить від часу, координат точки, її швидкості та інших причин:

,,.

З теорії звичайних диференціальних рівнянь відомо, що розв’язання одного диференціального рівняння другого порядку містить дві довільні сталі. Для випадку системи трьох звичайних диференційних рівнянь другого порядку є шість довільних сталих: .