загрузка...
 
Лекція 21
Повернутись до змісту

Лекція 21

Короткий зміст: Внутрішні та зовнішні сили. Центр мас. Моменти інерції відносно точки і осей. Теорема Штейнера.

Введення в динаміку системи

Механічною системою називається будь-яка система матеріальних точок і тіл.

Зовнішніми силами механічної системи називаються сили, з якими на точки і тіла механічної системи діють точки і тіла які не входять в дану систему.

Рівнодійна всіх зовнішніх сил, прикладених до першої точки, позначається  (від латинського exterior – зовнішній).

Внутрішніми силами механічної системи називаються сили взаємодії між точками і тілами даної системи.

Рівнодійна всіх внутрішніх сил, прикладених до першої точки, позначається  (від латинського interior – внутрішній).

Цей поділ є умовним і залежить від того, яка механічна система розглядається.

Внутрішні сили системи мають такі властивості:

 Теорема. Головний вектор усіх внутрішніх сил системи (векторна сума) дорівнює нулю при будь-якому стані системи:  .

Доведення. Згідно з однією з аксіом динаміки будь-які дві точки системи діють один на одного з рівними за величиною, але протилежно спрямованими силами. Векторна сума цих сил дорівнює нулю. Всі внутрішні сили є великою кількістю таких парних сил. Тому сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулю.

Теорема. Головний момент усіх внутрішніх сил системи (векторна сума) щодо будь-якої точки або осі дорівнює нулю при будь-якому стані системи:

 або .

Доведення:Будь-які дві точки системи діють один на одного з рівними за величиною, але протилежно спрямованими силами. Сума моментів цих сил щодо будь-якої точки або осі дорівнює нулю. Всі внутрішні сили є великою кількістю таких парних сил. Тому сума моментів усіх внутрішніх сил відносно будь-якої точки або осі дорівнює нулю.

Диференціальні рівняння системи у векторній формі:

,    .

Геометрія мас

Розглянемо механічну систему, яка складається з кінцевого числа  матеріальних точок з масами , а положення точок у просторі задається радіусами-векторами .

Центром мас механічної системи називається геометрична точка С, радіус-вектор якої  визначається виразом

де  – маса системи.

Якщо механічна система являє собою суцільне тіло, то його розбивають на елементарні частинки з нескінченно малими масами . Суми в границях переходять в інтеграли, і центр мас визначається виразом

Центр мас є не матеріальною точкою, а геометричною. Центр мас характеризує розподіл мас у системі.

Координати центра мас мають вигляд:

     

     

     

Для тіл типу тонкого листа (поверхня) і тонкого дроту (лінія) та , де  – поверхнева і лінійна щільності відповідно. Інтеграли обчислюються по поверхні та лінії.

Моменти інерції для характеристики розподілу мас у тілах при розгляді обертальних рухів вимагається ввести поняття моменти інерції.

Для характеристики розподілу мас у тілах при розгляді обертальних рухів потрібно ввести поняття моментів інерції.

Момент інерції відносно точки є скалярна величина          або        

називається полярним моментом інерції відносно точки О. d – відстань від поточної точки до точки О.

Момент інерції щодо осі

Скалярна величина або

називається моментом інерції відносно осі l. r – відстань від точки до осі.

Моменти інерції однакових за формою однорідних тіл, виготовлених з різних матеріалів, відрізняються один від одного. Характеристикою, не залежить від маси матеріалу, є радіус інерції.

Величина  називається радіусом інерції.

Момент інерції відносно осі через радіус інерції відносно цієї ж осі визначається виразом       .

Моменти інерції відносно осей координат

   ,

   ,

                 ,

       .

Відцентрові моменти інерції :

 ,  ,

      ,               ,

     ,               .

Установимо залежність між моментами інерції паралельно осям, одна з яких проходить через центр мас.

Теорема про моменти інерції паралельних осей (Теорема Штейнера).

Момент інерції системи відносно будь-якої осі дорівнює моменту інерції відносно паралельної осі, що проходить через центр мас, плюс добуток маси системи на квадрат відстані між цими осями.

.

Доведення: Нехай є дві декартові системи координат  та , осі яких паралельні. Початок системи  знаходиться в центрі мас системи. Доведемо теорему для осей  і :

.

Координати пов'язані між собою співвідношеннями:

,                     ,                   .

,,.

Отже, , що потрібно було довести.

Головними осями інерції називаються осі, в яких відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю.

Моменти інерції тіла відносно головних осей інерції називаються головними моментами інерції тіла.

Тензор інерції і тензор інерції для головних осей:

     .

Моменти інерції найпростіших тіл

Таблиця 21.1

Тіло

Момент інерції



загрузка...