Короткий зміст: Внутрішні та зовнішні сили. Центр мас. Моменти інерції відносно точки і осей. Теорема Штейнера.
Введення в динаміку системи
Механічною системою називається будь-яка система матеріальних точок і тіл.
Зовнішніми силами механічної системи називаються сили, з якими на точки і тіла механічної системи діють точки і тіла які не входять в дану систему.
Рівнодійна всіх зовнішніх сил, прикладених до першої точки, позначається (від латинського exterior – зовнішній).
Внутрішніми силами механічної системи називаються сили взаємодії між точками і тілами даної системи.
Рівнодійна всіх внутрішніх сил, прикладених до першої точки, позначається (від латинського interior – внутрішній).
Цей поділ є умовним і залежить від того, яка механічна система розглядається.
Внутрішні сили системи мають такі властивості:
Теорема. Головний вектор усіх внутрішніх сил системи (векторна сума) дорівнює нулю при будь-якому стані системи: .
Доведення. Згідно з однією з аксіом динаміки будь-які дві точки системи діють один на одного з рівними за величиною, але протилежно спрямованими силами. Векторна сума цих сил дорівнює нулю. Всі внутрішні сили є великою кількістю таких парних сил. Тому сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулю.
Теорема. Головний момент усіх внутрішніх сил системи (векторна сума) щодо будь-якої точки або осі дорівнює нулю при будь-якому стані системи:
або .
Доведення:Будь-які дві точки системи діють один на одного з рівними за величиною, але протилежно спрямованими силами. Сума моментів цих сил щодо будь-якої точки або осі дорівнює нулю. Всі внутрішні сили є великою кількістю таких парних сил. Тому сума моментів усіх внутрішніх сил відносно будь-якої точки або осі дорівнює нулю.
Диференціальні рівняння системи у векторній формі:
, .
Геометрія мас
Розглянемо механічну систему, яка складається з кінцевого числа матеріальних точок з масами , а положення точок у просторі задається радіусами-векторами .
Центром мас механічної системи називається геометрична точка С, радіус-вектор якої визначається виразом
де – маса системи.
Якщо механічна система являє собою суцільне тіло, то його розбивають на елементарні частинки з нескінченно малими масами . Суми в границях переходять в інтеграли, і центр мас визначається виразом
Центр мас є не матеріальною точкою, а геометричною. Центр мас характеризує розподіл мас у системі.
Координати центра мас мають вигляд:
Для тіл типу тонкого листа (поверхня) і тонкого дроту (лінія) та , де – поверхнева і лінійна щільності відповідно. Інтеграли обчислюються по поверхні та лінії.
Моменти інерції для характеристики розподілу мас у тілах при розгляді обертальних рухів вимагається ввести поняття моменти інерції.
Для характеристики розподілу мас у тілах при розгляді обертальних рухів потрібно ввести поняття моментів інерції.
Момент інерції відносно точки є скалярна величина або
називається полярним моментом інерції відносно точки О. d – відстань від поточної точки до точки О.
Момент інерції щодо осі
Скалярна величина або
називається моментом інерції відносно осі l. r – відстань від точки до осі.
Моменти інерції однакових за формою однорідних тіл, виготовлених з різних матеріалів, відрізняються один від одного. Характеристикою, не залежить від маси матеріалу, є радіус інерції.
Величина називається радіусом інерції.
Момент інерції відносно осі через радіус інерції відносно цієї ж осі визначається виразом .
Моменти інерції відносно осей координат
,
,
,
.
Відцентрові моменти інерції :
, ,
, ,
, .
Установимо залежність між моментами інерції паралельно осям, одна з яких проходить через центр мас.
Теорема про моменти інерції паралельних осей (Теорема Штейнера).
Момент інерції системи відносно будь-якої осі дорівнює моменту інерції відносно паралельної осі, що проходить через центр мас, плюс добуток маси системи на квадрат відстані між цими осями.
.
Доведення: Нехай є дві декартові системи координат та , осі яких паралельні. Початок системи знаходиться в центрі мас системи. Доведемо теорему для осей і :
.
Координати пов'язані між собою співвідношеннями:
, , .
,,.
Отже, , що потрібно було довести.
Головними осями інерції називаються осі, в яких відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю.
Моменти інерції тіла відносно головних осей інерції називаються головними моментами інерції тіла.
Тензор інерції і тензор інерції для головних осей: