загрузка...
 
Лекція 22
Повернутись до змісту

Лекція 22

Короткий зміст: Загальні теореми динаміки системи і твердого тіла. Кількість руху системи. Теорема про зміну кількості руху системи. Закони збереження кількості руху. Теорема про рух центра мас. Момент кількості руху твердого тіла відносно осі обертання при обертальному русі твердого тіла. Момент кількості руху системи. Теорема про зміну моменту кількості руху системи. Закони збереження моменту кількості руху. Кінетична енергія системи. Кінетична енергія твердого тіла. Теорема про зміну кінетичної енергії системи.

Загальні теореми динаміки системи та твердого тіла

Кількість руху системи

Кількістю руху системи матеріальних точок  називається векторна сума кількостей рухів окремих точок системи:

Одиницею виміру кількості руху в СІ є -

Кількість руху системи можна виразити через масу системи та швидкість центра мас:

Теорема про зміну кількості руху системи

Ця теорема існує в трьох різних формах.

Теорема. Похідна за часом від кількості руху системи дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему:

,

(22.1)

Доведення. Теорема про зміну кількості руху для точки має вигляд:

,.

Складемо всі  рівнянь і отримаємо ,

що і потрібно було довести.

У проекціях на осі координат це твердження має такий вигляд:,

Теорема (У диференціальній формі). Диференціал від кількості руху системи дорівнює сумі елементарних імпульсів усіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Помножимо ліву і праву частини рівняння (22.1) на і одержимо

.

(22.2)

У проекціях на осі координат це твердження має такий вигляд:

,,

Теорема (в інтегральній формі). Зміна кількості руху системи за будь-який проміжок часу дорівнює векторній сумі елементарних імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють на систему за цей самий проміжок часу.

Інтегруючи обидві частини рівняння (22.2) за часом в межах від нуля до ,отримуємо.

У проекціях на осі координат це твердження має такий вигляд:

,,.

Закони збереження кількості руху.

1. Якщо головний вектор усіх зовнішніх сил системи дорівнює нулю (), то кількість руху системи постійна за величиною та  напрямом:

2. Якщо проекція головного вектора всіх зовнішніх сил системи на будь-яку вісь дорівнює нулю (), то проекція кількості руху системи на цю вісь є постійною величиною.

Теорема про рух центра мас.

Теорема. Центр мас системи рухається так само, як і матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи, якщо на точку діють всі зовнішні сили, прикладені до розглянутої механічної системи:

,Отже

Момент кількості руху системи

Моментом кількості руху системи матеріальних точок  відносно деякого центра O називається векторна сума моментів кількості руху окремих точок цієї системи відносно того ж центра O:

Моментом кількості руху системи матеріальних точок  відносно якої-небудь осі , що проходить через центр О, називається проекція вектора кількості руху на цю вісь:.

Момент кількості руху твердого тіла відносно осі обертання при обертальному русі твердого тіла.

Обчислимо момент кількості руху твердого тіла відносно осі обертання:

Момент кількості руху твердого тіла відносно осі обертання при обертальному русі дорівнює добутку кутової швидкості тіла на його момент інерції відносно осі обертання: .

Теорема про зміну моменту кількості руху системи

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху системи, взятого відносно якого-небудь центра, дорівнює векторній сумі моментів зовнішніх сил, що діють на систему відносно того ж центра:

(22.3)

Доведення. Теорема про зміну моменту кількості руху для точки має вигляд:

,.

Складемо всі n рівнянь і отримаємо:

 або що потрібно було довести.

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху системи, взятого відносно будь-якої осі, дорівнює векторній сумі моментів зовнішніх сил, що діють на систему відносно тієї ж осі.

Для доведення достатньо спроектувати векторне рівняння (22.3) на цю вісь. Для осі Oz це буде виглядати так:

.

(22.4)

Теорема про зміну моменту кількості руху системи відносно центра мас (без доведення)

Для осей, рухомих поступально разом із центром мас системи, теорема про зміну моменту кількості руху системи відносно центра мас зберігає той самий вигляд, що і відносно нерухомого центра.

Закони збереження моменту кількості руху

1. Якщо головний момент зовнішніх сил системи відносно точки О дорівнює нулю (), то момент кількості руху системи відносно точки О постійний за величиною і напрямком:

2. Якщо сума моментів усіх зовнішніх сил системи відносно якої-небудь осі дорівнює нулю(), то момент кількості руху системи відносно цієї осі є постійною величиною:

Кінетична енергія системи

Кінетичною енергією системи називають суму кінетичних енергій всіх точок системи:

Теорема Кеніга. Кінетична енергія системи в абсолютному русі складається з кінетичної енергії центра мас, якщо в ньому зосередити всю масу системи і кінетичної енергії системи при її русі відносно центра мас:

Доведення. Розглянемо рух механічної системи відносно двох систем координат. Одна система нерухома, інша, з початком у центрі мас системи, переміщається щодо першої поступально.

,, – радіус-вектор і абсолютна швидкість точки відповідно;

,, – радіус-вектор і абсолютна швидкість центра мас системи відповідно;

,, – радіус-вектор точки відносно центра мас і відносна швидкість цієї точки відповідно.

, (Оскільки  переносний рух поступальний)

Оскільки, , то  або

Кінетична енергія твердого тіл

1. Поступальний рух тіла.

Кінетична енергія твердого тіла при поступальному русі обчислюється так само, як і для однієї точки, у якій маса дорівнює масі цього тіла:

 – швидкість будь-якої точки твердого тіла.

2. Обертання тіла навколо нерухомої осі.

Кінетична енергія твердого тіла при обертальному русі навколо нерухомої осі дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості тіла.

, – кутова швидкість обертання твердого тіла.

3.Плоский рух тіла.

Кінетична енергія твердого тіла при плоскому русі складається з кінетичної енергії тіла разом з центром мас і кінетичної енергії тіла від обертання навколо осі, що проходить через центр мас і перпендикулярний площині руху :

, – швидкість центра мас твердого тіла, – кутова швидкість обертання твердого тіла.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи

Ця теорема існує у двох формах.

Теорема. Диференціал кінетичної енергії системи дорівнює сумі елементарних робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на систему.

Доведення: Теорема про зміну кінетичної енергії для точки має вигляд

,

Складемо всі n рівнянь і отримаємо:

або

або .

що і потрібно було довести.

Теорема. Зміна кінетичної енергії системи при її переміщенні  з одного положення в інше дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на систему, на відповідних переміщеннях точок системи при тому ж переміщенні системи:

Навчальне видання. Теоретична механіка

КУРС ЛЕКЦІЙ для студентів напряму підготовки 0902 «Інженерна механіка» спеціальності 6.050502  «Інженерна механіка» денної та заочної форм навчання

Відповідальний за випуск І. П. Бурик

Редактор Т. Г. Чернишова

Комп'ютерний набір та верстання М. В. Вегери

Підп. до друку 14.09.2012, поз.

Формат 60х8416. Ум. друк. арк. 9,3. Обл.-вид. арк. 7,6. Тираж 50 пр. Зам. №               

Собівартість видання грн  к.

Видавець і виготовлювач

Сумський державний університет,

вул. Римського-Корсакова, 2, м. Суми 40007

Свідоцтво суб'єкта видавничої справи ДК № 3062 від 17.12.2007.



загрузка...