Дискретизація рівнянь – заміна безперервної області сукупністю ізольованих точок (сітка), причому розв’язок рівнянь шукається тільки в цих точках (вузлах сітки).
Рівняння в часткових похідних зводиться до системи алгебраїчних рівнянь.
Основні позначення, які використовуватимуться надалі на прикладі розв’язку деякої задачі в прямокутнику . Введемо декартову сітку (рис. 1.7), вузли якої є точками перетинів ліній декартової системи координат з абсцисами і ординатами , де , - індекси вузлів; – кількість вузлів уздовж x- і у - напрямків.
Значення обчислюваної змінної у вузлі сітки з просторовими координатами xi і yj позначається нижніми індексами:
.
Якщо є залежність від часу, то аналогічно вводиться тимчасова сітка , при цьому номер вузла в часі позначається верхнім індексом.
Верхнім індексом позначається також будь-яка маршова координата.
Крок сітки
.
Рисунок 1.7 – Обчислювальна молекула
У випадку, якщо у рівняннях наявні похідні не тільки від фізичної величини, але і від її градієнтів (потоків), зручно вводити також значення функції в напівцілих вузлах сітки
. (1.93)
Скінченно-різницеві апроксимації диференціаль-
них операторів
Використовується математичний апарат – розкладання у ряд Тейлора.
Визначення: припустимо - диференціальний вираз, а – його скінченно-різницевий вираз в точці xi. Якщо при достатньо малих h має місце співвідношення
, (1.94)
то називається похибкою апроксимації (відхилом), а величина – порядком апроксимації.
Символ широко використовується в асимптотичних методах. Вираз для всіх означає, що існує така константа , яка не залежить від x, що для всіх має місце
.
Скінченно-різницеві апроксимації першої похідної
Права різниця (беруться величини праворуч від вузла):
,
ліва різниця (беруться величини ліворуч від вузла):
,
де - похибки апроксимацій.
З формули Тейлора випливає
, (1.95)
тобто – права і ліва різниці мають похибку апроксимації першого порядку.
Якщо додамо праву різницю, помножену на hi, і ліву різницю, помножену на hi+1, то головні члени похибок скоротяться, що дозволяє нам підвищити порядок апроксимації похідної до другого
, (1.96)
на рівномірній сітці одержуємо центральну різницю
. (1.97)
Скінченно-різницева апроксимація другої похідної
Для отримання апроксимації другої похідної застосуємо двічі центрально-різницевий оператор
(1.98)
де крок «напівцілої сітки».
Застосовуючи формулу Тейлора, можна показати, що
, (1.99)
тобто є апроксимацією першого порядку.
На «слабонерівномірних» сітках, таких, що можна розглядати як апроксимацію другого порядку.
На рівномірній сітці є апроксимацією другого порядку