загрузка...
 
1.4.2. Метод скінченних різниць
Повернутись до змісту

1.4.2. Метод скінченних різниць

Дискретизація рівнянь – заміна безперервної області сукупністю ізольованих точок (сітка), причому розв’язок рівнянь шукається тільки в цих точках (вузлах сітки).

Рівняння в часткових похідних зводиться до системи алгебраїчних рівнянь.

Основні позначення, які використовуватимуться надалі на прикладі розв’язку деякої задачі  в прямокутнику . Введемо декартову сітку (рис. 1.7), вузли якої є точками перетинів ліній декартової системи координат з абсцисами  і ординатами , де ,  - індекси вузлів;  – кількість вузлів уздовж x- і у - напрямків.

Значення обчислюваної змінної у вузлі сітки з просторовими координатами xi і yj позначається нижніми індексами:

.

Якщо є залежність від часу, то аналогічно вводиться тимчасова сітка , при цьому номер вузла в часі позначається верхнім індексом.

Верхнім індексом позначається також будь-яка маршова координата.

Крок сітки

.

Рисунок 1.7 – Обчислювальна молекула

У випадку, якщо у рівняннях наявні похідні не тільки від фізичної величини, але і від її градієнтів (потоків), зручно вводити також значення функції в напівцілих вузлах сітки

.                   (1.93)

Скінченно-різницеві апроксимації диференціаль-

них операторів

Використовується математичний апарат – розкладання у ряд Тейлора.

Визначення: припустимо  - диференціальний вираз, а  – його скінченно-різницевий вираз в точці xi. Якщо при достатньо малих h має місце співвідношення

,            (1.94)

то  називається похибкою апроксимації (відхилом), а величина  – порядком апроксимації.

Символ  широко використовується в асимптотичних методах. Вираз  для всіх  означає, що існує така константа , яка не залежить від x, що для всіх  має місце

.

Скінченно-різницеві апроксимації першої похідної

Права різниця (беруться величини праворуч від вузла):

,

ліва різниця (беруться величини ліворуч від вузла):

,

де  - похибки апроксимацій.

З формули Тейлора випливає

, (1.95)

тобто  – права і ліва різниці мають похибку апроксимації першого порядку.

Якщо додамо праву різницю, помножену на hi, і ліву різницю, помножену на hi+1, то головні члени похибок скоротяться, що дозволяє нам підвищити порядок апроксимації похідної до другого

,    (1.96)

на рівномірній сітці  одержуємо центральну різницю

.                           (1.97)

Скінченно-різницева апроксимація другої похідної

Для отримання апроксимації другої похідної застосуємо двічі центрально-різницевий оператор

   (1.98)

де  крок «напівцілої сітки».

Застосовуючи формулу Тейлора, можна показати, що

, (1.99)

тобто  є апроксимацією першого порядку.

            На «слабонерівномірних» сітках, таких, що   можна розглядати як апроксимацію другого порядку.

На рівномірній сітці  є апроксимацією другого порядку

.

Скінченно-різницева апроксимація дифузійного оператора

, (1.100)

.

Компактні апроксимації високих порядків точності

Розглянемо вираз для відхилу скінченно-різницевої апроксимації другої похідної

.           (1.101)

Введемо позначення  і перепишемо вираз таким чином:

, або

 - неявна апроксимація другої похідної четвертого порядку, яка побудована на триточковому шаблоні.



загрузка...