загрузка...
 
1.4.5. Стійкість скінченно-різницевих схем. Метод фон Неймана
Повернутись до змісту

1.4.5. Стійкість скінченно-різницевих схем. Метод фон Неймана

Не кожна узгоджена скінченно-різницева схема забезпечує збіжність чисельного розв’язку до розв’язання початкового диференціального рівняння в часткових похідних. Необхідно також, щоб вона була стійкою. Для лінійних диференціальних рівнянь в часткових похідних доведена теорема Лакса: необхідною і достатньою умовою збіжності різницевої схеми для розв’язання коректно поставленої задачі з початковими даними є виконання умов узгодженості і стійкості.

Приклад 1

Проаналізуємо на стійкість явну схему для рівняння теплопровідності

                         (*)

Розв’язання цього рівняння можна подати у вигляді суми точного розв’язку різницевого рівняння і похибки округлення:

.                          (1.107)

Тоді, підставляючи цей вираз в (*), одержимо рівняння для похибки

, або ,

де .                                   (**)

Представимо похибку  у вигляді суми ряду Фур’є. Зображення Фур’є для функції g(x) на інтервалі  має вигляд

. (1.108)

            Для коміркової функції Фур’є - амплітуда записується як апроксимація

,                      (1.109)

де .

Лінійність рівняння дозволяє розглядати кожну гармоніку окремо. Шукаємо розв’язок (**) у вигляді

;

підставляючи в (**), одержуємо

.     (1.110)

Величина G називається коефіцієнтом переходу (amplification factor).

Для стійкості необхідно, щоб , що виконується при  або

Приклад 2

Проаналізуємо стійкість схеми з різницями вперед за часом і центральними різницями по простору (ВЧЦП) для розв’язання одновимірного рівняння конвекції

.

Схема має вигляд

.

Підставляючи , знаходимо

, де  – так зване число Куранта.

Схема безумовно нестійка. Застосуємо замість центральної різниці ліву різницю (різниця проти потоку)

.

У цьому випадку

.

Модуль G менше одиниці і схема стійка (див.

рис. 1.8), коли виконується умова Куранта-Фрідріхса-Леві (КФЛ)

,

яка застосовується до всіх явних схем для рівнянь гіперболічного типу.

Умова КФЛ означає, що частинка середовища за один крок за часом не повинна просуватися більш ніж на один просторовий крок.



загрузка...