1.4.5. Стійкість скінченно-різницевих схем. Метод фон Неймана
Не кожна узгоджена скінченно-різницева схема забезпечує збіжність чисельного розв’язку до розв’язання початкового диференціального рівняння в часткових похідних. Необхідно також, щоб вона була стійкою. Для лінійних диференціальних рівнянь в часткових похідних доведена теорема Лакса: необхідною і достатньою умовою збіжності різницевої схеми для розв’язання коректно поставленої задачі з початковими даними є виконання умов узгодженості і стійкості.
Приклад 1
Проаналізуємо на стійкість явну схему для рівняння теплопровідності
(*)
Розв’язання цього рівняння можна подати у вигляді суми точного розв’язку різницевого рівняння і похибки округлення:
. (1.107)
Тоді, підставляючи цей вираз в (*), одержимо рівняння для похибки
, або ,
де . (**)
Представимо похибку у вигляді суми ряду Фур’є. Зображення Фур’є для функції g(x) на інтервалі має вигляд
. (1.108)
Для коміркової функції Фур’є - амплітуда записується як апроксимація
, (1.109)
де .
Лінійність рівняння дозволяє розглядати кожну гармоніку окремо. Шукаємо розв’язок (**) у вигляді
;
підставляючи в (**), одержуємо
. (1.110)
Величина G називається коефіцієнтом переходу (amplification factor).
Для стійкості необхідно, щоб , що виконується при або
Приклад 2
Проаналізуємо стійкість схеми з різницями вперед за часом і центральними різницями по простору (ВЧЦП) для розв’язання одновимірного рівняння конвекції
.
Схема має вигляд
.
Підставляючи , знаходимо
, де – так зване число Куранта.
Схема безумовно нестійка. Застосуємо замість центральної різниці ліву різницю (різниця проти потоку)
.
У цьому випадку
.
Модуль G менше одиниці і схема стійка (див.
рис. 1.8), коли виконується умова Куранта-Фрідріхса-Леві (КФЛ)
,
яка застосовується до всіх явних схем для рівнянь гіперболічного типу.
Умова КФЛ означає, що частинка середовища за один крок за часом не повинна просуватися більш ніж на один просторовий крок.