загрузка...
 
3.9. Похибки непрямих вимірювань
Повернутись до змісту

3.9. Похибки непрямих вимірювань

У більшості експериментів використовують непрямі вимірювання. Досліджувану величину f визначають за результатами прямих вимірювань інших фізичних величин, наприклад, x,y,z,..., з якими вона зв'язана заздалегідь установленим функціональним математичним співвідношенням

f = f(x, y, z, …) .                               (3.33)

Цей зв'язок повинен бути відомим експериментаторові. Крім даних прямих вимірювань, параметрами (3.33) можуть виявитися інші величини, точно задані або отримані в інших вимірюваннях, – вони становлять набір вихідних даних. Вираз (3.33), записаний у явному вигляді, називають робочою формулою і використовують як для оцінювання результату непрямого вимірювання , так і для оцінювання похибки вимірювання ?f. Як правило, обидві оцінки пов'язані з остаточними результатами прямих вимірювань ±?x, ±?y, ±?z... Звичайно, щоб одержати (3.33), використовують модельний опис, і щоб уникнути модельних похибок при вимірюванні f, воно повинне адекватно відбивати досліджуване фізичне явище. Якщо модель точна, то модельні похибки виключені, а непряме вимірювання дає надійні результати.

Розглянемо випадок, коли похибки вимірювання величин x, y, z, … мають тільки випадковий характер і відповідають нормальному закону розподілу. Крім цього, похибка кожного окремо взятого прямого вимірювання незалежна, тобто не піддається впливу випадкових факторів, що викликають похибки інших прямих вимірювань, виконаних в експерименті. Такі вимірювання і самі вимірювані величини звуться статистично незалежними, або просто незалежними. При виконанні зазначених умов середнє значення величини f визначають на основі (5.1), виходячи із середніх значень величин x, y, z, … :

= f(,, ,…,...) .                                              (3.34)

Якщо точність прямих вимірювань досить висока, тобто ?x<< , ?y<< , ?z<<, ... , то похибки результатів прямих вимірювань переносяться на результат непрямого вимірювання як незалежні нормальні розподіли f навколо  за кожним з аргументів (3.33).

Спільний розподіл навколо f, що враховує окремі розподіли кожного з аргументів (3.33), повинна визначати похибка непрямого вимірювання ?f. Ці розподіли нормальні і незалежні, тому дисперсія їх спільного розподілу дорівнює сумі їх дисперсій, що строго доведено в математичній статистиці. Тоді середнє квадратичне відхилення спільного розподілу, що обчислюється як корінь із дисперсії, знаходиться з виразу:

.                                 (3.35)

Цей вираз має загальний характер і його можна використати для оцінювання похибки непрямого вимірювання, виконаного при будь-якому вигляді функції f(x,y,z,…)... . Однак варто твердо пам'ятати, що при безпосередніх розрахунках у (3.35) необхідно підставляти похибки ?x, ?y, ?z, …, знайдені для того самого значення довірчої ймовірності. Похибка непрямого вимірювання  також буде відповідати цьому значенню довірчої ймовірності. Рекомендується використовувати значення ймовірності p=0,68. Застосуємо (3.35) до певних поширених залежностей. Інтерес становлять ті випадки, коли за допомогою (3.35) вдається встановити функціональний зв'язок між похибками прямих вимірювань і похибкою непрямого вимірювання. Таблиця 3.4 містить вирази, що задають такий зв'язок.

Таблиця 3.4 - Зв'язок похибок прямих і непрямих вимірювань

Робоча формула

Формула похибки

f=A·x±B·y±C·z

f=A·x±? ·y±?·z±?

f=lnx

f=ex

f=A·sin?

У таблиці взяті такі позначення: ? – для абсолютної похибки; ? – для відносної похибки;  A, B, C, a, b, g  –  постійні; x, y, z, j – результати прямих вимірювань; f – результат непрямого вимірювання.



загрузка...