загрузка...
 
2.4 Спектр нормальних коливань решітки
Повернутись до змісту

2.4 Спектр нормальних коливань решітки

Важливою характеристикою кривих дисперсії  є густина фононних станів . Ця величина характеризує число мод, що припадає на інтервал частот від  до . Величину можна знайти за означенням

,

де  - число власних коливань тіла на інтервал від  до .

Якщо одновимірний кристал має N атомів, то в ньому можуть виникати нормальні коливання із довжиною хвилі:

, де n=1, 2, …, N,

тобто повне число коливань z із  становитиме n варіантів.

Отже, для одновимірного і тривимірного кристалів  і  відповідно. В останньому випадку замість коефіцієнта 23 правильніше брати  і тоді число коливань:

,                                         (2.7)

де  - об’єм кристала.

                Співвідношення (2.7) можна записати через частоту:

                                    ,                               (2.7')

де  і - швидкість поперечної та поздовжньої хвиль. Ці величини пов’язані із усередненим значенням швидкості звуку в кристалі  співвідношенням:

.

У частотному інтервалі від  до  збуджується  коливань, кількість яких можна підрахувати за співвідношенням

                                                   .                   (2.8)

Враховуючи визначення, спектральна густина коливань дорівнює

                                           .             (2.8')

Оскільки повне число фононів в одному молі кристала не може бути більшим 3NA, то можна записати:

.

Із  пов’язана температура Дебая (?D), тобто температура, вище якої не збуджується жодне нормальне коливання (Рисунок - 2.6):

                                                      .                      (2.9)

Оскільки частота фононів і їх фазова швидкість пов’язані між собою рівнянням , то можна переписати його у такому вигляді:

                                .                       (2.10)

Рисунок 2.6 -  Спектральна густина нормальних коливань

 

Одержане співвідношення є рівнянням ізочастотної поверхні, тобто поверхні в оберненому просторі, якій відповідає частота . Із рівняння (2.7) випливає, що ізочастотна

поверхня має місце лише при малих k, і в міру його зростання форма ізочастотної поверхні все більше і більше відхиляється від сферичної.



загрузка...