Важливою характеристикою кривих дисперсії є густина фононних станів . Ця величина характеризує число мод, що припадає на інтервал частот від до . Величину можна знайти за означенням
,
де - число власних коливань тіла на інтервал від до .
Якщо одновимірний кристал має N атомів, то в ньому можуть виникати нормальні коливання із довжиною хвилі:
, де n=1, 2, …, N,
тобто повне число коливань z із становитиме n варіантів.
Отже, для одновимірного і тривимірного кристалів і відповідно. В останньому випадку замість коефіцієнта 23 правильніше брати і тоді число коливань:
, (2.7)
де - об’єм кристала.
Співвідношення (2.7) можна записати через частоту:
, (2.7')
де і - швидкість поперечної та поздовжньої хвиль. Ці величини пов’язані із усередненим значенням швидкості звуку в кристалі співвідношенням:
.
У частотному інтервалі від до збуджується коливань, кількість яких можна підрахувати за співвідношенням
. (2.8)
Враховуючи визначення, спектральна густина коливань дорівнює
. (2.8')
Оскільки повне число фононів в одному молі кристала не може бути більшим 3NA, то можна записати:
.
Із пов’язана температура Дебая (?D), тобто температура, вище якої не збуджується жодне нормальне коливання (Рисунок - 2.6):
. (2.9)
Оскільки частота фононів і їх фазова швидкість пов’язані між собою рівнянням , то можна переписати його у такому вигляді:
. (2.10)
Рисунок 2.6 - Спектральна густина нормальних коливань
Одержане співвідношення є рівнянням ізочастотної поверхні, тобто поверхні в оберненому просторі, якій відповідає частота . Із рівняння (2.7) випливає, що ізочастотна
поверхня має місце лише при малих k, і в міру його зростання форма ізочастотної поверхні все більше і більше відхиляється від сферичної.