Додаток А. (обов’язковий). Приклади розв’язування задач
Задача 1
Написати індекси напрямку прямої, яка проходить через вузли [[100]] та [[001]] примітивної кубічної решітки [22].
Розв’язання
Зобразимо примітивну кубічну решітку, відмітимо на ній вузли з індексами [[100]] та [[001]] і проведемо через ці вузли пряму (Рис. А.1, а).
Якби пряма проходила через початок координат, то індекси її напрямку збіглися б з індексами вузла, найближчого до початку координат із вузлів, через які проходить пряма.
Якщо перенести початок координат у вузол [[100]] (Рис. А.1, б), то вузол, який лежить на тій самій прямій і найближчий до вибраного початку координат, буде мати індекси [[01]], а шуканий напрямок у цьому випадку визначається індексами [01].
Якщо ж початок координат перенести у вузол [[001]] (Рис. А.1, в) , то відповідно індекси напрямку будуть [10]. Отже, індекси шуканого напрямку в кристалі [01] або [10].
а б в
Рисунок А.1 - Пояснення до задачі 1
Не завжди можна легко визначити, як змінюються індекси вузлів при перенесенні початку координат. Тому розглянемо аналітичний метод розв’язання задачі.
Напишемо у загальному вигляді рівняння прямої, яка проходить через дві точки у просторі, з індексами вузлів [[m1n1p1]] та [[m2n2p2]]:
. (1)
Величини, які утворюються у знаменнику, пропорційні напрямним косинусам прямої. Оскільки ці величини - цілі числа, то вони і будуть індексами напрямку.
Підставимо у знаменник виразу (1) значення індексів вузлів m1=1, n1=0, p1=0 та m2=0, n 2=0, p2=1 і отримаємо:
m2 – m1 =0–1=–1,
n2 – n1 =0–0= 0,
p2 – p1 =1–0=1.
Таким чином, шукані індекси напрямку [01].
Відповідь: індекси напрямку [01].
Задача 2
Написати індекси Міллера для площини, яка має вузли з індексами [[200]], [[010]] [[001]]. Решітка примітивна, кубічна [22].
Розв’язання
Можливі два способи розв’язання задачі. Перший спосіб застосовується тоді, коли вузли, що належать площині, одночасно лежать і на осях координат (тобто відомі відрізки, відсічені площиною на осях координат).
У даному випадку вузли, лежать на осях координат, отже, відрізки (в одиницях сталої решітки), які відсікаються на осях координат цією площиною, відповідно будуть 2, 1, 1 (Рис. А.2). У відповідності до загального правила знаходження індексів Міллера запишемо зворотні значення отриманих чисел та зведемо їх до найменшого спільного знаменника. Отримана сукупність значень у чисельниках дробів і є шуканими індексами Міллера (122).
Рисунок А.2 - Схематичне зображення кристалографічної площини
Другий спосіб (аналітичний) особливо зручний тоді, коли відомі вузли не лежать на осях координат. Цей спосіб є загальним і застосовується у всіх випадках.
Відомо, що індекси Міллера дорівнюють найменшим цілочисловим коефіцієнтам при змінних у загальному рівнянні площини. Тому розв’язання задачі з визначення індексів Міллера зводиться до знаходження рівняння площини.
Рівняння площини, що проходить через три точки з координатами [[m1n1p1]], [[m2n2p2]], [[m3n3p3]], задається визначником третього порядку
.
У нашому випадку: m1=2, n1=0, p1=0; m2=0, n2=1, p2=0; m3=0, n3=0, p3=0. Підставляючи значення індексів вузлів у визначник, отримаємо
.
Розкладемо цей визначник за елементами першого рядка
.
Розкривши визначник другого порядку, отримаємо
(x-2)(+1)-y(-2)+z(+2)=0 або x+2y+2z=2.
Коефіцієнти при x, y, z і є індексами Міллера (122).
Ці значення індексів, як і слід було очікувати, збігаються із значеннями, отриманими першим способом.
Відповідь: індекси Міллера (122).
Задача 3
Визначити відносну атомну масу кристала, якщо відомо, що відстань d між найближчими сусідніми атомами дорівнює 0,304 нм. Густина?кристала дорівнює 534. Решітка об’ємноцентрована кубічної сингонії.
Розв’язання
Маса кристала , де об’єм кристала (- об’єм однієї елементарної комірки), число елементарних комірок у кристалі масою m; =.10-3 - молярна маса, виміряна в кг/моль; n =2 - кількість атомів в елементарній комірці ОЦК-решітки.
Таким чином, отримуємо співвідношення
,
звідки знаходимо ;
.
За таблицею Менделєєва знаходимо, що це літій.
Відповідь:=6,95.
Задача 4
Знайти сталу решітки (а) і відстань (d) між найближчими сусідніми атомами кристала:
1) алюмінію (ГЦК - решітка);
2) вольфраму (ОЦК - решітка).
Розв’язання
Густину кристалів можна знайти як відношення маси елементарної комірки m до її об’єму V:
де - маса одного атома; n- кількість атомів в одній елементарній комірці (для ГЦК – решітки n=4, для ОЦК - решітки n=2); а- параметр решітки (a=d для ГЦК-решітки, для ОЦК-решітки); - молярна маса речовини кристала. Таким чином, виконуємо розрахунки за формулою
Обчислити максимальну частоту Дебая, якщо відомо, що молярна теплоємність срібла при Т=20K дорівнює 1,7Дж/(моль К).
Розв’язання
Частота Дебая зв’язана з температурою Дебая таким співвідношенням:
.
Відповідно до теорії теплоємності кристалів Дебая в області низьких температур
тоді
Відповідь: .
Задача 6
Для нагрівання срібла масою m=10г від 10К до 20К було витрачено Дж тепла. Визначити характеристичну температуру Дебая срібла. Вважати .
Розв’язання
Частота Дебая зв’язана з температурою Дебая співвідношенням
.
Відповідно до теорії теплоємності Дебая кристалів в області низьких температур
тоді
,
де кг/моль – молярна маса срібла,
звідки знаходимо
.
Відповідь: .
Задача 7
Період d решітки одновимірного кристала дорівнює 0,3 нм. Знайти максимальну енергію фононів, якщо усереднена швидкість звуку в кристалі v=5 км/с.
Розв’язання
Максимальна енергія фонона визначається за формулою
,
де – максимально можлива частота коливань у кристалі; – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі.
Відповідь: .
Задача 8
Визначити усереднену швидкість звуку у кристалі, характеристична температура якого 300К. Міжатомна відстань d у кристалі дорівнює 0,25 нм.
Розв’язання
Відповідно до визначення
де – максимально можлива частота коливань у кристалі; – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі ( див. рис. 2.1).
Таким чином,
Відповідь: .
Задача 9
Скільки вільних електронів припадає на один атом натрію при температурі Т=0 К. Енергія Фермі для натрію дорівнює 3,12 еВ. Густина натрію .
Розв’язання
Кількість електронів dN в елементі фазового простору , де V – об’єм кристала; р - імпульс електрона
де 2 означає кратність виродження енергетичних рівнів;
– функція розподілу Фермі-Дірака.
У нашому випадку при Т=0 К, , тоді
.
Якщо врахувати, що
де m – маса електрона, то
.
При абсолютному нулі температури максимальна енергія електронів у металі дорівнює енергії Фермі. Враховуючи це, одержуємо концентрацію електронів у металі
Концентрація атомів ,
де – молярна маса речовини кристала.
Таким чином, маємо кінцеву формулу
.
Відповідь: .
Задача 10
Знаючи функцію розподілу електронів у металі за енергіями
,
знайти розподіл dn(p) за імпульсами: 1) при довільній температурі Т; 2) при температурі Т=0 К.
Розв’язання
Для переходу від розподілу за енергіями до розподілу за імпульсами скористаємося зв’язком між енергією та імпульсом
тоді
.
Якщо температура кристала Т=0 К, то ,
оскільки функція розподілу Фермі-Дірака у цьому випадку дорівнює одиниці.
Відповідь:
Задача 11
Знаючи розподіл dn(v) електронів у металі за швидкостями, виразити <1/v> через максимальну швидкість електронів у металі. Метал перебуває при Т=0 К.
Розв’язання
Розподіл електронів у металі за швидкостями при Т=0 К має вигляд
Середнє значення <1v> можна знайти за формулою
,
де W – ймовірність того, що електрон має швидкість від v до v+dv. Ймовірність можна знайти так:
.
Таким чином, одержуємо
.
Відповідь: .
Задача 12
Напівпровідник у вигляді тонкої пластини шириною l=1см і довжиною L=10 см помістили в однорідне магнітне поле з індукцією B=0,2Тл. Вектор магнітної індукції перпендикулярний до площини пластини. До кінців пластини (у напрямку L) прикладена стала напруга U=300B. Визначити холлівську різницю потенціалів на гранях пластини, якщо стала Холла , питомий опір Ом м.
Розв’язання
Під дією сили Лоренца електрони будуть рухатися до однієї з бічних граней пластини, у результаті чого виникне холлівська різниця потенціалів, зв’язана з напруженістю електричного поля Холла співвідношенням
Процес перерозподілу електронів буде продовжуватися до того часу, поки сила Лоренца не зрівноважиться кулонівською силою
тобто
Дрейфову швидкість електронів v можна знайти із виразу для густини струму j:
j=nev,
де n – концентрація електронів.
Таким чином,
де I – сила струму в провіднику; S – площа поперечного перерізу провідника. Звідси випливає
,
де R– опір пластинки, тоді
.
Відповідь:
Задача 13
Молярна магнітна сприйнятливість окису хрому Cr2O3 дорівнює 5,8·10-8 м3/моль. Визначити магнітний момент молекули Cr2O3 (у магнетонах Бора), якщо температура Т=300 К.
Розв’язання
Магнітна сприйнятливість парамагнітних речовин виражається за теорією Ланжевена формулою
,
де n-концентрація молекул; - магнітний момент молекули.
Враховуючи, що , отримаємо
.
Виразивши магнітну сприйнятливість через молярну магнітну сприйнятливість, знайдемо . Звідси
.
Провівши обчислення, отримаємо .
Виразимо відповідь у магнетонах Бора . Оскільки =0,927?10-23 А?м2, то =3,34.