Задача 3 Показати на рисунку такі кристалографічні площини (100), (110), (111), (110), (111), (210) та (220) для кристалів із такими типами решіток: а) проста кубічна; б)ОЦК; в) ГЦК.
Задача 4 Метал може бути у двох поліморфних модифікаціях (1-ОЦК і 2-ГЦК). Використовуючи співвідношення а2=1,032r1 (r1-радіус атома в ОЦК-фазі), визначити зміну густини металу при ОЦКГЦК переході для таких металів (у дужках подано параметр а1 в ): а)Mn(3.08); б) Fe(2.86); в)La (4.26); г)Ce(6.70); д); Yb(4.44).
Задача 5 Користуючись табличними даними, які подані в задачах 1, 2, обчислити густину таких речовин:
а)Mo; ж)Ni; л)Pt;
б)Cr; з)Cu; м)Na;
в)ГЦК-Fe; и)Pd; н)K;
г)ОЦК-Fe; і)Al; о)W;
д)V; ї)Au; п)NaCl.
е)Ta; й)Ag;
є)Nb; к)ГЦК-Co;
Задача 6 Враховуючи рівняння
,
довести, що у випадку, коли U0 повільніше, ніж b, енергія електрона змінюється безперервно, як і у вільного електрона у вакуумі: . Побудувати залежність =(k) [23].
Задача 7 Враховуючи рівняння
,
довести, що у випадку, коли , енергія електрона змінюється дискретно, як і у електрона в атомі . Побудувати схему енергетичних рівнів [23].
Задача 8 Подати схематично зонну структуру одно- та двовалентного кристалів об’ємом 1 м3.
Задача 9 Подати схематично зонну структуру три- та чотиривалентного кристалів у кількості 1 моль.
Задача 10 Побудувати чотири перші зони Бриллюена для двовимірної кубічної решітки. Пояснити принцип побудови.
Задача 11 Побудувати сімейство ізочастотних поверхонь для випадків, наведених на рис. 1:
Задача 12 Довести, що молярна теплоємність електронного газу . Порівняти між собою електронну і фононну теплоємності () при Т=300 К. Для таких кристалів у дужках наведена .
а) Cu (7.1 eB); е)Li (4.7 eB);
б) Al (11.9 eB); є) Na (3.1 eB);
в)Be (14.6 eB); ж) Ag (5.5 eB);
г) Au (5.5 eB); з) Cs (1.5 eB).
д) K (2.1 eB);
Задача 13 Яка енергія виділиться при охолодженні 1м3 речовини від Т1=?D до Т2=?D-1К? У дужках наведені в кг/м3 та ?D в К:
а) Al (2,7; 390); з) Pb (11,37; 88);
б) Be (1,83; 1100); и) Ag (10,5; 165);
в) Au (19,27; 170); і) Ne (1,5; 63);
г) K (0,86; 100); ї) Ag (1,66; 84);
д) Cu (8,94; 320); й) C (3,52; 1860);
е) Na (0,97; 150); к) Ge (5,32; 366);
є) Ni (8,9; 410); л) NaCl (2,17; 322);
ж) Pt (21,5; 229); м) KBr (2,75; 153).
Задача 14 Користуючись даними, які подані в задачі 13, обчислити молярну теплоємність при Т=2К за законом Дюлонга і Пті та за теорією Дебая. Пояснити причину різниці цих величин. Варіанти (а-м).
Задача 15 Використовуючи значення температури Дебая, обчислити молярну теплоємність кристалів (задача 13) при Т= ?D. Варіанти (а-м).
Задача 16 Використовуючи значення температури Дебая, обчислити молярну теплоємність кристалів (див. задачу 13) при Т= ?D. Варіанти (а-м).
Задача 17 При якій температурі фонона теплоємність кристалів (див. задачу 13) дорівнює електронній? Валентність кристалів взяти за одиницю. Варіанти (а-е, и).
Задача 18 Обчислити довжину хвилі фонона при Т1=?D і Т2=?D для кристалів (див. задачу 13).
Задача 19 Знайти середнє значення кінетичної енергії електронів у зоні провідності кристала (див. задачу 12). Варіанти (а-з).
Задача 20 Металічна пластина з розмірами та d (рис. Б 2) , в якій проходить електричний струм силою І, вміщена в магнітне поле з індукцією В. Між верхньою та нижньою гранями пластини виникає різниця потенціалів . Визначити концентрацію вільних електронів та їх рухливість .
Розміри пластини, індукція, сила струму і різниця потенціалів з відповідними одинцями виміру подані у варіантах у такій послідовності:
Задача 23 Визначити число елементарних комірок кристала об’ємом V=1м3: а) хлористого цезію (решітка ОЦК); б) міді (решітка ГЦК); в) кобальту, який має гексагональну структуру з щільною упаковкою.
Задача 24 Знайти густину кристала неону (при 20К), якщо відомо, що решітка гранецентрована кубічної сингонії. Постійна а решітки при тій самій температурі дорівнює 0,452 нм.
Задача 25. Знайти густину кристала стронцію, якщо відомо, що решітка гранецентрована кубічної сингонії, а відстань d між найближчими сусідніми атомами дорівнює 0,43нм.
Задача 26 Визначити відносну атомну масу Аm кристала, якщо відомо, що відстань d між найближчими сусідніми атомами дорівнює 0,30 нм. Решітка ОЦК. Густина кристала дорівнює 534 кг/м3.
Задача 27 Написати індекси напряму прямої, що проходить через два вузли з кристалографічними індексами: а) [[123]] і [[]]; б) [[1]] і [[201]].
Задача 28 Обчислити період ідентичності уздовж прямої [111] у решітці кристала NaCl, якщо густина кристала дорівнює 2,17?103 кг/м3.
Задача 29. Записати індекси Міллера для площин, що містять вузли з кристалографічними індексами: а)[[111]],[12],[[01]]; б) [[11]],[[010]],[[]]
Знайти відрізки, що відтинають площини на осях координат.
Задача 30. Система площин примітивної кубічної решітки задана індексами (111). Визначити відстань d між сусідніми площинами, якщо параметр а гратки дорівнює 0,3нм.
Задача 31. Визначити параметр а примітивної кубічної решітки, якщо міжплощинна відстань d для системи площин, заданих індексами Міллера (212), при рентгеноструктурному вимірюванні виявилася такою, що дорівнює 0,12 нм.
Задача 32. Три системи площин у примітивній кубічній решітці задано індексами Міллера (111), (110) та (100). Вказати, для якої з систем міжплощинні відстані d мінімальні і для якої системи - максимальні. Визначити відношення міжплощинних відстаней d111:d110:d100.
Задача 33. Визначити максимальну частоту власних коливань у кристалі золота за теорією Дебая. Характеристична температура дорівнює 180 К.
Задача 34. Знайти відношення зміни внутрішньої енергії кристала при нагріванні його від нуля до а) Т = 0,1; б) Т = 0,15; в) Т = 0,2 до нульової енергії Uo. Вважати, що Т << .
Задача 35. Користуючись теорією теплоємності Дебая, визначити зміну ?U молярної внутрішньої енергії кристала при нагріванні його від нуля до а) Т=0,1; б) Т = 0,15; в) Т = 0,2. Характеристичну температуру Дебая взяти для даного кристала такою, що дорівнює 300 К. Вважати, що Т <<.
Задача 36. Використовуючи квантову теорію теплоємності Дебая, обчислити зміну ?U молярної внутрішньої енергії кристала при нагріванні його на а) ?T=2K; б) ?T=1K; а) ?T=4K від температури Т=/2.
Задача 37. Визначити відносну похибку, яка буде допущена при обчисленні теплоємності кристала, якщо замість значення, що дається теорією Дебая (при Т=)), скористатися значеннями, що даються законом Дюлонга і Пті.
Задача 38. Знайти квазіімпульс фонона, який відповідає частоті а) ; б) ; в) . Усереднена швидкість v звуку в кристалі дорівнює 1380 м/с, характеристична температура Дебая дорівнює 100 К. Дисперсією звукових хвиль у кристалі знехтувати.
Задача 39. Довжина хвилі фонона, який відповідає частоті а) , дорівнює 52 нм; б) , дорівнює 50 нм; в) , дорівнює 37 нм. Знехтувавши дисперсією звукових хвиль, визначити характеристичну температуру Дебая , якщо усереднена швидкість v звуку в кристалі дорівнює 4,8 км/с.
Задача 40. Визначити усереднену швидкість v фононів (швидкість звуку) у сріблі. Модулі поздовжньої Е і поперечної G пружності, а також густину в сріблі вважати відомими.
Задача 41. Характеристична температура Дебая для вольфраму дорівнює 310 К. Визначити довжину хвилі фононів, які відповідають частоті а); б); в). Визначити усереднену швидкість звуку у вольфрамі. Дисперсією хвиль у кристалі знехтувати.
Задача 42. Визначити середню довжину вільного пробігу фононів у кварці SiO2 при деякій температурі, якщо при тій самій температурі коефіцієнт теплопровідності 13Вт/м?К, молярна теплоємність 44 Дж/моль?К і усереднена швидкість звуку дорівнює 5 км/с. Густина кварцу дорівнює 2,65?103 кг/м3.
Задача 43. Знайти відношення середньої довжини вільного пробігу фононів до параметра d решітки при кімнатній температурі в кристалі NaCI, якщо коефіцієнт теплопровідності при тій самій температурі дорівнює 71 Вт/(м?К). Теплоємність визначити за законом Неймана – Коппа. Відносні атомні маси: ANа=23, ACI=35,5; густина кристала дорівнює 2,17?103 кг/м3. Усереднену швидкість v звуку взяти такою, що дорівнює 5 км/с.
Задача 44. Визначити концентрацію n вільних електронів у металі при температурі Т=0 К. Енергію фермі взяти такою, що дорівнює а) 1 еВ; а) 4 еВ; а) 5 еВ.
Задача 45. Визначити відношення концентрацій вільних електронів при Т=0 К в літії і цезії, якщо відомо, що рівні Фермі в цих металах відповідно дорівнюють 4,72 еВ, =1,53 еВ.
Задача 46. Визначити число вільних електронів, які припадають на один атом при температурі Т=0 К. Рівень Фермі для а) натрію дорівнює 3,12 еВ; б) літію - 4,72 еВ; в) цезію - 1,53 еВ; г) алюмінію - 11,7 еВ; д) міді - 7,0 еВ. Густини вважати відомими.
Задача 47. У скільки разів число вільних електронів, які припадають на один атом металу при Т=0, більше в алюмінію, ніж у міді, якщо рівні Фермі відповідно рівні =11,7 еВ, =7,0 еВ?
Задача 48. Визначити ймовірність того, що електрон в металі займе енергетичний стан, який знаходиться в інтервалі =0,05 еВ нижче рівня Фермі і вище рівня Фермі для двох температур: а) Т=290 К; б) Т=58 К; в) Т=5 К.
Задача 49. Обчислити середню кінетичну енергію електронів у металі при температурі Т=0, якщо рівень Фермі: а) =7 еВ; б) =11,7 еВ; в) =7,0 еВ.
Задача 50. Метал знаходиться при температурі Т=0. Визначити, у скільки разів число електронів з кінетичною енергією від до більше числа електронів з енергією від 0 до .
Задача 51. Електрони в металі знаходяться при температурі Т=0. Знайти відносне число вільних електронів, кінетична енергія яких відрізняється від енергії Фермі більше, ніж на: а) 2%; б) 5%; в) 1%.
Задача 52. Оцінити температуру Ткр виродження для: а) калію; б) натрію; в) літію; г) міді; д) срібла, якщо припустити, що на кожен атом припадає по одному вільному електрону. Густини вважати відомими.
Задача 53. Визначити відношення концентрації електронів у металі (при Т=0 К), енергія яких відрізняється від максимальної не більше ніж на , до концентрації в електроні, енергії яких не перевищують значення ; взяти таким, що дорівнює: а) 0,01 ; б) 0,015 ; в) 0,02 .
Задача 54. Знаючи розподіл електронів у металі за енергіям, встановити розподіл електронів за імпульсами. Знайти частковий випадок розподілу при Т=0.
Задача 55. За функцією розподілу електронів в металі за імпульсами встановити розподіл за швидкостями: а) при будь-якій температурі Т; б) при Т=0 К.
Задача 56. Визначити максимальну швидкість електронів в металі при Т=0 К, якщо рівень Фермі: а) =5еВ; б) =3еВ; в) =7еВ; г) =1еВ; д) =9еВ.
Задача 57. Виразити середню швидкість електронів у металі при Т=0 К через максимальну швидкість . Обчислити для металу, рівень Фермі якого при Т=0 К дорівнює: а) =6 еВ; б) =5еВ; в) =3еВ; г) =2еВ; д) =1еВ.
Задача 58. Метал знаходиться при температурі Т=0 К. Визначити, у скільки разів число електронів зі швидкостями від до більше числа електронів зі швидкостями від 0 до .
Задача 59. Виразити середню квадратичну швидкість електронів у металі при Т=0 К через максимальну швидкість електронів. Функцію розподілу за швидкостями вважати відомою.
Задача 60. Знаючи розподіл електронів у металі за швидкостями, виразити через максимальну швидкість електронів у металі. Метал знаходиться при температурі Т=0 К.
Задача 61. Визначити рівень Фермі у власному напівпровіднику, якщо енергія активації дорівнює 0,1 еВ. За нульовий рівень відліку кінетичної енергії електронів взяти найнижчий рівень зони провідності.
Задача 62. Власний напівпровідник (германій) має при деякій температурі питомий опір =0,48 Ом?м. Визначити концентрацію n носіїв заряду, якщо рухливості un і up електронів і дірок відповідно дорівнюють 0,36 і 0,16 м2/(В?с).
Задача 63. Питома провідність кремнію з домішками дорівнює 112 См/м. Визначити рухливість up дірок і їх концентрацію np, якщо стала Холла RH=3,66?10-4 м3/Кл. Припустити, що напівпровідник має тільки діркову провідність.
Задача 64. Напівпровідник у вигляді тонкої пластини шириною l=1см i завдовжки L=10 см вміщений в однорідне магнітне поле з індукцією В=0,2 Тл. Вектор магнітної індукції перпендикулярний до площини пластини. До кінців пластини (в напрямі L) прикладена стала напруга U=300 В. Визначити холлівську різницю потенціалів UH на гранях пластини, якщо стала Холла RH=0,1 м3/Кл, питомий опір 0,5Ом?м.
Задача 65. Тонка пластина з кремнію шириною l=2 см вміщена перпендикулярно до ліній індукції однорідного магнітного поля (В=0,5 Тл). При густині струму j=2 мкА/мм2, направленого уздовж пластини, холлівська різниця потенціалів UH виявилася такою, що дорівнює 2,8 В. Визначити концентрацію п носіїв струму.
Задача 66. Визначити намагніченість J тіла при насиченні, якщо магнітний момент кожного атома дорівнює магнетону Бора і концентрації атомів 6?1028м-3.
Задача 67. Магнітна сприйнятливість марганцю дорівнює . Обчислити намагніченість J, питому намагніченість Jпит і молярну намагніченість Jм марганцю в магнітному полі напруженістю H=1005 кА/м. Густину марганцю вважати відомою.
Задача 68. Знайти питому магнітну сприйнятливість AgBr, якщо його молярна магнітна сприйнятливість
Задача 69. Визначити магнітну сприйнятливість і молярну магнітну сприйнятливість вісмуту, якщо його питома магнітна сприйнятливість
Задача 70. Магнітна сприйнятливість алюмінію дорівнює . Визначити його питому магнітну і молярну т сприйнятливість.
Задача 71. Напруженість Н магнітного поля в міді дорівнює Н=1 МА/м. Визначити намагніченість J міді і магнітну індукцію В, якщо питома магнітна сприйнятливість -1,1?10-9 м3/кг.
Задача 72. Визначити частоту ?L ларморової прецесії електронної орбіти в атомі, якщо індукція В магнітного поля дорівнює 1 Тл.
Задача 73. Атом водню знаходиться в магнітному полі з індукцією В=1 Тл. Обчислити магнітний момент , обумовлений прецесією електронної орбіти. Припустити, що середнє значення квадрата відстані електрона від ядра дорівнює =2/3 (r1 - радіус першої борівської орбіти).
Задача 74. Питома парамагнітна сприйнятливість V2O3 при t=17°C дорівнює 1,80?10-7 м3/кг. Визначити магнітний момент (в магнетонах Бора), що припадає на одну молекулу V2O3, якщо густина триокису ванадію дорівнює 4,87?103 кг/м3
Задача 75. При температурі Т1=300 К і магнітній індукції В1=0,5 Тл була досягнута певна намагніченість J парамагнетика. Визначити магнітну індукцію В2, при якій збережеться така сама намагніченість, якщо температуру Т2 підвищити до 450 К.
Задача 76. Визначити, при якому найбільшому значенні магнітної індукції В вже необхідно користуватися не наближеним виразом функції Ланжевена L(а)а/3, а точним, щоб похибка обчислень не перевищувала 1%. Для розрахунків взяти магнітний момент молекул таким, що дорівнює магнетону Бора. Температура Т=300 К.
?103, кг/моль
?10-3, кг/м3
):
2r1 (r1-радіус атома в ОЦК-фазі), визначити зміну густини металу при ОЦК
ГЦК переході для таких металів (у дужках подано параметр а1 в 
,
повільніше, ніж b
, енергія електрона змінюється безперервно, як і у вільного електрона у вакуумі: 
. Побудувати залежність 
=
,
, енергія електрона змінюється дискретно, як і у електрона в атомі 
. Побудувати схему енергетичних рівнів [23].
. Порівняти між собою електронну і фононну теплоємності (
) при Т=300 К. Для таких кристалів у дужках наведена 
.
Т2=?D-1К? У дужках наведені 
в кг/м3 та ?D в К:
?D. Варіанти (а-м).
?D для кристалів (див. задачу 13).
та d (рис. Б 2) , в якій проходить електричний струм силою І, вміщена в магнітне поле з індукцією В. Між верхньою та нижньою гранями пластини виникає різниця потенціалів 
. Визначити концентрацію вільних електронів 
та їх рухливість 
.
, рухливість 
, 
та 
, 
):
при 
; 
при 
; 
при 
; та 
при 
. Обчислити ширину забороненої зони (у таблиці подана величина 
):
кристала неону (при 20К), якщо відомо, що решітка гранецентрована кубічної сингонії. Постійна а решітки при тій самій температурі дорівнює 0,452 нм.
]]; б) [[
1]] і [[201]].
2],[[
]]
власних коливань у кристалі золота за теорією Дебая. Характеристична температура 
дорівнює 180 К.
внутрішньої енергії кристала при нагріванні його від нуля до а) Т = 0,1
фонона, який відповідає частоті а) 
; б) 
; в) 
. Усереднена швидкість v звуку в кристалі дорівнює 1380 м/с, характеристична температура Дебая 
дорівнює 100 К. Дисперсією звукових хвиль у кристалі знехтувати.
фонона, який відповідає частоті а) 
, дорівнює 52 нм; б) 
, дорівнює 50 нм; в) 
, дорівнює 37 нм. Знехтувавши дисперсією звукових хвиль, визначити характеристичну температуру Дебая 
; б)
; в)
. Визначити усереднену швидкість звуку у вольфрамі. Дисперсією хвиль у кристалі знехтувати.
вільного пробігу фононів у кварці SiO2 при деякій температурі, якщо при тій самій температурі коефіцієнт теплопровідності 13Вт/м?К, молярна теплоємність 44 Дж/моль?К і усереднена швидкість звуку дорівнює 5 км/с. Густина 
взяти такою, що дорівнює а) 1 еВ; а) 4 еВ; а) 5 еВ.
вільних електронів при Т=0 К в літії і цезії, якщо відомо, що рівні Фермі в цих металах відповідно дорівнюють 
4,72 еВ, 
=1,53 еВ.
=11,7 еВ, 
=0,05 еВ нижче рівня Фермі і вище рівня Фермі для двох температур: а) Т=290 К; б) Т=58 К; в) Т=5 К.
електронів у металі при температурі Т=0, якщо рівень Фермі: а) 
=7 еВ; б) 
до 
вільних електронів, кінетична енергія яких відрізняється від енергії Фермі більше, ніж на: а) 2%; б) 5%; в) 1%.
електронів у металі (при Т=0 К), енергія яких відрізняється від максимальної не більше ніж на 
в електроні, енергії яких не перевищують значення 
; 
електронів у металі за енергіям, встановити розподіл 
електронів за імпульсами. Знайти частковий випадок розподілу при Т=0.
за швидкостями: а) при будь-якій температурі Т; б) при Т=0 К.
електронів в металі при Т=0 К, якщо рівень Фермі: а) 
електронів у металі при Т=0 К через максимальну швидкість 
до 
більше числа електронів зі швидкостями від 0 до 
електронів у металі при Т=0 К через максимальну швидкість 
електронів у металі за швидкостями, виразити 
через максимальну швидкість 
активації дорівнює 0,1 еВ. За нульовий рівень відліку кінетичної енергії електронів взяти найнижчий рівень зони провідності.
і концентрації атомів 6?1028м-3.
марганцю дорівнює 
. Обчислити намагніченість J, питому намагніченість Jпит і молярну намагніченість Jм марганцю в магнітному полі напруженістю H=1005 кА/м. Густину марганцю вважати відомою.
вісмуту, якщо його питома магнітна сприйнятливість 
. Визначити його питому магнітну 
і молярну 
-1,1?10-9 м3/кг.
, обумовлений прецесією електронної орбіти. Припустити, що середнє значення квадрата відстані 
(r1 - радіус першої борівської орбіти).
V2O3 при t=17°C дорівнює 1,80?10-7 м3/кг. Визначити магнітний момент
а/3, а точним, щоб похибка обчислень не перевищувала 1%. Для розрахунків взяти магнітний момент молекул таким, що дорівнює магнетону Бора. Температура Т=300 К.