загрузка...
 
3.1. Якісні розв’язки диференціальних рівнянь багатовимірних динамічних систем
Повернутись до змісту

3.1. Якісні розв’язки диференціальних рівнянь багатовимірних динамічних систем

Сумісну взаємодію процесів проектування, виготовлення та експлуатації машинобудівного виробу виробничо–технічного призначення можна подати як динамічну систему, що моделюється кінцевим числом звичайних диференціальних рівнянь. У даному випадку система – це об’єкт із заданими величинами , які описують її стан у деякий момент часу . Величини  можуть набувати довільних значень, причому двом їх різним наборам  та  відповідають два різні стани. Закон еволюції динамічної системи з часом записується системою звичайних диференціальних рівнянь:

 ,                                    (3.1)

де  – n–вимірний вектор із компонентами , що характеризує стан динамічної системи; f – векторна функція, яка характеризує закон еволюції; N – розмірність фазового простору.

Розглянемо динамічну систему, що описується моделлю двох (або більше) рівнянь:

                                                     (3.2)

де  і  – нелінійні відносно x, y функції, що безперервно диференціюються у деякій області xOy (або у всій площині). Для розв’язання такої системи необхідно використати метод фазової площини, який дозволяє розглянути поведінку системи на площині (x, y).

Кожна точка фазової площини визначає стан системи у даний момент часу. Рух конфігураційної точки  по фазовій площині (фазова траєкторія) відповідає зміні стану системи. Набір фазових траєкторій задає фазовий портрет системи. Диференціальні рівняння фазових траєкторій

мають вигляд

      або                                     (3.3)

Розв’язавши ці рівняння, можна отримати інтегральну функцію фазових траєкторій. За умов  та  отримуємо криву, в точках перетинання якої з фазовими траєкторіями останні мають горизонтальну дотичну. За умов  та  отримуємо криву, в точках перетину якої з фазовими траєкторіями останні мають вертикальну дотичну.

Основне завдання якісного дослідження цієї динамічної системи полягає у з’ясуванні якісної картини розбиття фазової площини на траєкторії або у встановленні топологічної структури цього розбиття. Під топологічною структурою мають на увазі всі властивості, що залишаються інваріантними відносно топологічного (взаємно однозначного і взаємно безперервного) перетворення площини в саму себе. Загальні результати якісної теорії показують, що величезна кількість систем поводить себе однаково. Для розуміння якісної картини розв’язання  системи (3.2) достатньо знати не поведінку всіх фазових кривих, а з’ясувати лише положення та тип особливих точок, для яких напрям дотичної не визначений. Для знаходження особливих точок системи (3.2) необхідним є виконання умов  та . При цьому система (3.2) набирає вигляду

.                                           (3.4)

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримаємо набір особливих точок (xi, yi), де i=1,…,n. Положення рівноваги (особлива точка) може бути стійким і нестійким. Поняття стійкості динамічних систем має велике прикладне значення. Зокрема, характер еволюції системи зі стану рівноваги суттєво залежить від стійкості особливої точки. У разі нестійкої рівноваги в результаті навіть невеликих початкових відхилень система залишає стаціонарний стан, і її рух стає складним, або вона переходить до іншого стаціонарного стану, далекого від початкового. Тому важливим є вивчення характеру стійкості динамічних систем.

Подальша процедура зводиться до визначення типу особливих точок та їх стійкості. Для цього у систему (3.2) підставляють розв’язки у вигляді:

                                                       (3.5)

де  – коефіцієнти; l – показник Ляпунова. Після підстановки отримуємо характеристичні рівняння:

                        (3.6)

.                              (3.7)

Розв’язавши детермінант, визначаємо значення показника Ляпунова l, за знаком і величиною якого можна з’ясувати тип стійкості особливої точки.

У таблиці 3.1 наведені класифікація можливих типів особливих точок та їх графічна інтерпретація.

Таблиця 3.1Типи особливих точок

Показник Ляпунова

 Тип особливої точки

Графічна інтерпретація

1

2

3

1. Дійсні корені рівняння одного знака:

а)

Стійкий вузол

б)

Нестійкий вузол

2. Дійсні корені різного знака

Сідло

3. Комплексні корені

а)

Стійкий фокус

б)

Нестійкий фокус

в)

Центр

Особливі точки, що притягують до себе фазові траєкторії, наприклад, стійкий вузол і стійкий фокус, є атракторами. Але атракторами в дисипативних системах можуть бути не лише стійкі стаціонарні точки, а й замкнені фазові криві, що відповідають періодичному руху.

Розв’язання  диференціальних рівнянь на площині, як правило, мають регулярні атрактори двох типів – особливі точки та граничні цикли. Фіксована точка є простим атрактором, що описує динамічну систему, яка еволюціонує до стійкого стану рівноваги. Атрактор–точка виникає в дисипативних динамічних системах, тобто в таких, де енергія не зберігається. Точки фазового простору, що відповідають нульовому значенню швидкості і локальному мінімуму, є стійкими точками тяжіння траєкторій. Іншим варіантом атрактора є замкнена крива, що має назву граничного циклу. Він відповідає динамічній системі, що прямує до стійкого періодичного руху (періодичного коливання). У фазовому просторі поблизу граничного циклу траєкторії прямують за регулярною кривою, колом, еліпсом або багатовимірним тором. Атрактори у вигляді станів рівноваги, граничних циклів або l–вимірних торів називають простими, або регулярними, підкреслюючи тим самим, що рухи за ними відповідають уявленням (за Ляпуновим) про стійку детерміновану поведінку

динамічної системи.

Кожен показник Ляпунова відображає середню швидкість експоненціального розходження (li > 0) або сходження (li < 0) близьких фазових траєкторій у проекції на осі фазового простору. Значущим є старший показник l1. Якщо він позитивний, то поведінка системи має хаотичний характер, і чим він більший, тим більша ця хаотичність.

Важливою особливістю динамічних систем, для яких розмірність фазового простору дорівнює або більше трьох (N ? 3), є те, що вона може стати хаотичною. При цьому у фазовому просторі виявляються принципово нові типи рухів динамічної системи, яким відповідають складні притягувальні множини – дивні атрактори. Траєкторії конфігуративних точок у даному випадку не належать до жодного з описаних вище типів атракторів. Вони являють собою тут нескінченну, ніде не пересічну лінію. При t®? фазова траєкторія не залишає замкненої області й не притягується до інших атракторів [233]. Саме з існуванням таких траєкторій пов’язують можливість хаотичної поведінки детермінованих динамічних систем із розмірністю фазового простору N ? 3. При цьому поблизу хаотичного атрактора дві траєкторії, що починаються за майже ідентичних умов, уже через короткий час розходяться, а через тривалий час зовсім відрізняються одна від одної.

Модель Лоренца Е., що характеризує чутливість системи до початкових умов подана такими рівняннями [275]:

                                              (3.8)

де Х – характеризує швидкість конвективного потоку; Y – різниця температур між нижнім та верхнім потоками; Z – пропорційне відхиленню градієнта температур від сталого значення; точка означає диференціювання за часом t, який вимірюється у масштабі зміни різниці температур Y. Тут r=R/Rc – відношення числа Релея до критичного значення; s – число Прандтля; b – стала, пов’язана з геометрією задачі.

При цьому систему (3.8) подають у вигляді

                                            (3.9)

де h – поле, сполучене з параметром порядку h; S – керуючий параметр.

Система (3.8) переходить до (3.9), якщо динамічні змінні X, Y, Z та час t замінити згідно із співвідношенням

, , , .                                     (3.10)

Рівняння (3.9) показують, що параметр s являє собою співвідношення характерних часів зміни поля h і параметра порядку h, останнє з яких взяте за масштаб вимірювання часу ; відповідно параметр b зводиться до відношення характерних часів зміни поля h і керуючого параметра S; нарешті, параметр r визначає ступінь зовнішньої дії, що віддаляє систему від рівноважного стану. У свою чергу, співвідношення (3.10) показують, що параметр порядку h та сполучене поле h являють собою динамічні змінні X, Y, віднесені до масштабу , а керуючий параметр S зводиться до змінної Z, відліченої від порога r у протилежному напрямку.

Таким чином, у рамках синергетичного підходу подальші дослідження системи ФПС, що спільно взаємодіють, при проектуванні, виготовленні та експлуатації машинобудівного виробу виробничо–технічного призначення зводяться до самоузгодженого опису часових залежностей параметра порядку, сполученого з ним поля та керуючого параметра.



загрузка...