5.2 Методика визначення закону розподілу показників надійності

Опрацювання експериментальних даних і розрахунок показників надійності виконуються в такій послідовності.

1 Поставимо перед собою завдання вивчити випадкову величину Т, закон розподілу якої невідомий. Для його визначення проведемо серію спостережень над величиною Т. При цьому Т набуде низку конкретних значень, що являють собою статистичний матеріал.

Якщо кількість даних перевищує 25, то для спрощення подальших розрахунків складають статистичний ряд. Для побудови статистичного ряду визначають зону розсіювання досліджуваної величини за формулою

R = tmax- tmin, (5.1)

де tmax і tmin – відповідно максимальне і мінімальне значення величини.

Потім визначають кількість інтервалів

n = 1+3.3lnN, (5.2)

де N – кількість дослідних даних (відмовлених виробів).

У практиці розрахунків рекомендується розглядати 7-20 інтервалів. Тому кількість інтервалів можна не розраховувати за формулою (5.2), а взяти в рекомендованих межах.

Знаючи зону розсіювання і число інтервалів, розраховують ширину (величину) інтервалу

?t =. (5.3)

Ширину інтервалів округлюють до цілих парних значень. Усі інтервали повинні бути однаковими, прилягати один до одного і не мати розривів.

Початок першого інтервалу визначається так, щоб мінімальне значення величини містилося приблизно на його середині. Останній інтервал вибирається таким, щоб максимальне значення величини потрапляло в цей інтервал.

Потім підраховують частоту mi відмов випадкової величини у кожному інтервалі, накопичену частоту ?mi, частість (дослідну ймовірність) mi/N і накопичену частість ?mi/N кожного інтервалу.

При підрахунку частоти mi значення, що потрапляють на межу інтервалів, ділять порівну на обидва інтервали.

Накопичені частота ?mi і частість ?mi/N для кожного інтервалу визначаються як сума частот чи частостей усіх попередніх інтервалів. Для останнього інтервалу ?mi=N і ?mi/N=1.

Далі для наочної характеристики експериментального розподілу відмов будують гістограму і полігон (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Графічне оформлення статистичного ряду (гістограма і полігон)

2 Обчислюють статистичні характеристики розподілу випадкової величини за формулами:

а) середнє арифметичне

, (5.4)

де ti.cер – середнє значення інтервалу;

б) середнє квадратичне відхилення

S = при N<25, (5.5)

S = при N?25; (5.6)

в) дисперсія дорівнює S2;

г) коефіцієнт варіації

? =. (5.7)

3 Наступним етапом опрацювання дослідних даних є вибір теоретичного закону розподілу за коефіцієнтом варіації. Якщо ?=0-0,30, то вибирають нормальний закон розподілу, якщо ?=0,30-0,80,- закон Вейбулла, і якщо ?=0,80-1,30, - експоненціальний закон.

4 “Вирівнювання” емпіричного розподілу згідно з вибраним теоретичним законом полягає у визначенні теоретичних значень частот, частостей і накопичених частот чи частостей.

Вирівнювання за законом нормального розподілу

Диференціальна функція (щільність імовірності) нормального розподілу має вигляд

. (5.8)

Величини S і ti.сер є параметрами розподілу, тобто закон двопараметричний.

Теоретичні частоти визначають за формулою

mт = fo(x), (5.9)

де fo(x) – центрована і нормована функція нормального розподілу:

fo(x) = , (5.10)

x = = uр , (5.11)

де uр – квантиль нормального розподілу.

Для визначення квантиля uР при нормальному законі розподілу використовують дані літератури [5].

Значення x обчислюється для кожного інтервалу, а далі визначається fo(x) [5].

Теоретичні частості визначають за формулою

fo(x). (5.12)

Вирівнювання за законом Вейбулла

Диференціальна функція (щільність імовірності) розподілу

Вейбулла має вигляд

f(t) = , (5.13)

де a і b – параметри розподілу Вейбулла. При b=1 розподіл Вейбулла збігається з експоненціальним.

Параметр b визначають залежно від величини коефіцієнта варіації ? [5].

Параметр a розраховують за формулою

a = , (5.14)

де Сb – коефіцієнт, визначений за таблицею [5]. Визначивши параметри a і b, знаходять функцію розподілу Вейбулла.

Теоретичні частоти визначають за залежністю

mт = N·?t·f(t). (5.15)

Теоретичні частості обчислюють за формулою

=?t·f(t). (5.16)

Вирівнювання за експоненціальним законом

Диференціальна функція експоненціального розподілу має вигляд

f(t) = ?e-?t, (5.17)

де ? – стала величина.

Теоретичні частоти і частості визначають відповідно за формулами (5.15) і (5.16).

5 Оцінка відповідності вибраного теоретичного закону експериментальним даним статистичного ряду розподілу виконується за допомогою критерію згоди. У теорії надійності найчастіше застосовується критерій згоди Колмогорова.

Критерій згоди Колмогорова визначають за виразом

?= Dmax, (5.18)

де Dmax= , (5.19)

?mi і ?mTi – накопичені експериментальні і теоретичні частоти.

Визначивши значення ?, за таблицею [5] знаходять імовірність згоди P(?) теоретичного і емпіричного розподілів. Згода вважається достатньою, якщо ??1 і P(?) ?0,3.

При порівнянні декількох законів розподілу вибирають той закон, за яким можлива найбільша імовірність згоди.

6 Після визначення закону розподілу обчислюють основні характеристики надійності f(t), P(t), ?(t).

Залежності щільності розподілу відмов f(t) для кожного закону показані вище.

Імовірність безвідмовної роботи P(t) обчислюють у такий спосіб.

Нормальний закон розподілу

P(t) = 1-Fo(x), (5.20)

де Fo(x) – центрована функція, її значення наведені в [5].

При від’ємних значеннях x варто cкористатися формулою

Fo(-x)=1-Fo(x). (5.21)

Закон розподілу Вейбулла

P(t) = . (5.22)