1. Знайдемо зв’язок між швидкістю частинки , що виміряна в системі відліку , та швидкістю тієї самої частинки , що виміряна в системі відліку . Вважаємо, що система рухається зі швидкістю відносно нерухомої системи (див. рис. 43.1).
Компоненти швидкості частинки в системі визначаються виразами
, , . (43.1)
У системі компоненти швидкості тієї ж частинки дорівнюють
, , . (43.2)
Знайдемо формули, що позв'язують нештриховані компоненти швидкості зі штрихованими. Для цього скористуємося перетвореннями Лоренца. Із цих формул отримуємо, що
. (43.3)
Розділивши перше із цих рівностей на четверте, прийдемо до співвідношення
,
яке з урахуванням (43.1) і (43.2) можна подати у вигляді
. (43.4)
Розділивши друге й третє з рівностей (43.3) на четверте, отримаємо ще два співвідношення:
. (43.5)
Формули (43.4) та (43.5) і розв’язують поставлене завдання. Вони отримали назву формули перетворення або додавання швидкостей в СТВ.
За формулами (43.4) і (43.5) здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи до системи . Використавши аналогічно як і вище перетворення Лоренца, легко одержати формули
, , (43.6)
за якими здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи до системи . Формули (43.6) відрізняються від формул (43.4) і (43.5), як і слід було сподіватися, тільки знаком перед . Формули (43.6) також називаються формулами перетворення або додавання швидкостей в СТВ.
2. Проведемо дослідження формул додавання швидкостей в СТВ у граничних випадках.
Розглянемо випадок, коли . У цій ситуації вираз і ним можна в формулах (43.4)–(43.6) знехтувати. У результаті отримуємо, наприклад, з (43.4) та (43.5)
,
формули додавання швидкостей, за допомогою яких перетворюються швидкості в ньютонівській механіці. Таким чином, коли формули додавання швидкостей у СТВ переходять у формули додавання швидкостей ньютонівської механіки.
Розглянемо випадок, коли частинка рухається паралельно осям і в напрямку швидкості (див. рис. 42.1). Тоді збігається з модулем швидкості частинки в системі , a – з модулем швидкості в системі , і формула (43.4) має вигляд
. (43.7)
Швидкості , і паралельні й направлені в одну й ту саму сторону. Отже, формула (43.7) виражає закон додавання швидкостей. Якщо , то
. (43.8)
Таким чином, формула додавання швидкостей узгоджується с другим постулатом СТВ.