§95 Вектор поляризації. Поверхнева густина зв’язаних зарядів. Зв’язаний заряд усередині діелектрика [9]

§95 Вектор поляризації. Поверхнева густина зв’язаних зарядів. Зв’язаний заряд усередині діелектрика [9]

1. Для кількісного опису поляризації діелектрика користуються поняттям вектор поляризації. Вектором поляризації в деякій точці простору називають відношення дипольного моменту в фізично малому об'ємі , який знаходиться біля цієї точки, до величини цього об’єму

            .           (95.1)

Нагадаємо, що диполем називають систему двох точкових зарядів  та , відстань  між якими мала порівняно з відстанями до тих точок, у яких розглядається поле системи. Орієнтацію диполя в просторі задають за допомогою вектора , який проведено від заряду  до заряду . Диполь характеризується дипольним моментом, який за визначенням дорівнює . Прикладом диполя є поляризована молекула. Дипольний момент являє собою важливу характеристику молекули.

2. Знайдемо зв’язок між вектором поляризації та густиною зв’язаних зарядів. Розглянемо частину однорідного ізотропного діелектрика, який має форму косого паралелепіпеда (рис. 95.1). Помістимо його в однорідне електричне поле, яке направлено паралельно бічним ребрам. На основах паралелепіпеда з'являться поляризаційні заряди з поверхневою густиною  (тут і далі величини, які пов’язані зі зв’язаним зарядом, будемо позначати штрихом біля відповідного символу). На бічних гранях поляризаційних зарядів не виникне, тому що зміщення зарядів усередині діелектрика відбувається паралельно електричному полю , а отже, і цим граням. Якщо  – площа основи паралелепіпеда, то на основах з’явиться електричний заряд . Загальний дипольний момент косого паралелепіпеда з діелектрика буде дорівнювати

            ,

де  – вектор, який проведено від від’ємної основи паралелепіпеда до додатної паралельно бічним ребрам. Згідно з означенням (95.1) можемо записати вектор поляризації цього паралелепіпеда у вигляді

            ,     (95.2)

де  – об'єм паралелепіпеда. Нехай  – одиничний вектор зовнішньої нормалі до основи паралелепіпеда, яка заряджена додатно. Тоді . У цій формулі  – кут між векторами  та . Підставивши це значення у формулу (95.2) і помноживши її скалярно на , знайдемо

            ,

або

            .         (95.3)

Формула (95.3) була доведена для додатно зарядженої основи. Але вона вірна й для від’ємно зарядженої основи, тому що на ній зовнішня нормаль  направлена у протилежну сторону, і тому проекція  від’ємна. Формула справедлива й на бічній поверхні паралелепіпеда, тому що на ній, як ми бачили, =0, що узгоджується з формулою (95.3). Таким чином, формула (95.3) є справедлива і в загальному випадку.

Формула (95.3) показує, що нормальна складова  чисельно дорівнює електричному заряду, що зміщується при поляризації через одиничну площу в напрямку нормалі  до неї. Ця інтерпретація є вірною й у випадку неоднорідної поляризації. Тобто для такої, коли вектор  змінюється від точки до точки. Щоб переконатися в цьому, досить уявно розділити діелектрик на малі об'єми, у межах кожного з яких поляризація може вважатися однорідною.

3. Як сказано вище, при неоднорідній поляризації поляризаційні заряди можуть з'являтися не тільки на поверхні, але й в об'ємі діелектрика. Обчислимо тепер величину поляризаційних зарядів всередині діелектрика. Виділимо уявно в діелектрику довільний об'єм , який обмежений замкненою поверхнею  (рис. 95.2). Заряд, який зміщується при поляризації через площадку  у напрямку нормалі , відповідно до формули (95.3) дорівнює . Щоб знайти, який заряд вийде на всю поверхню , потрібно просумувати (проінтегрувати) заряди на кожній елементарній площі  цієї поверхні: . Діелектрик до поляризації був електрично нейтральним. Тому згідно закону збереження електричного заряду всередині діелектрика повинен знаходитися заряд, який рівний за модулем та протилежний за знаком до заряду, що вийшов на поверхню. Таким чином, всередині діелектрика при неоднорідній поляризації буде знаходитись електричний заряд

            .      (95.4)

Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса для вектора поляризації  та зв’язок заряду з об’ємною густиною електричного заряду  з (95.4) неважко знайти густину зв’язаних зарядів в діелектрику

            .   (95.5)

Із співвідношення (95.5) випливає, що коли поляризація діелектрика є однорідною (), то , а отже і . Тобто, коли поляризація діелектрика є однорідною, то всередині діелектрика зв’язані заряди відсутні.