1. Припустимо, що миттєве значення струму однакове у всіх поперечних перерізах провідника, що з'єднує обкладки конденсатора, а миттєве електричне поле таке саме, як в електростатиці при тих же зарядах на обкладках конденсатора. Струми й поля, що задовольняють цим умовам, називають квазистаціонарними.
Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу при розрядженні конденсатора.
Якщо обкладки конденсатора з зарядом у початковий момент часу з'єднати провідником з опором , то по провіднику пройде струм (див. рис. 112.1). Розглянемо ділянку кола 1–А–2 (див. рис. 112.1). Згідно закону Ома електричний струм, що проходить по цій ділянці, дорівнює
. (112.1)
Тут враховано, що на цій ділянці ; та – потенціали відповідно пластин 1 та 2 (див. рис. 112.1). З іншого боку, згідно з означенням ємності конденсатора
, або , (112.2)
де – заряд на пластині 1 конденсатора. Також зазначимо, що виходячи з означення сили електричного струму
, (112.3)
де – кількість заряду, що пройшла через поперечний переріз провідника за час . Із закону збереження електричного заряду випливає, що . Тобто коли сила струму буде додатною, то заряд на пластині 1 конденсатора буде зменшуватися (тобто буде від’ємним), саме цим міркуванням обумовлений знак «–» у формулі (112.3).
Далі підставляємо (112.2) та (112.3) в (112.1) і отримуємо
.
Звідси,
, або .
З отриманих формул знаходимо, що заряд на конденсаторі змінюється з часом за законом
, (112.4)
де – початкове значення заряду конденсатора, а – стала:
, (112.5)
що має розмірність часу. Вона називається часом релаксації. Через час заряд конденсатора зменшується в раз. Тому за порядком величини дорівнює часу, протягом якого конденсатор розрядиться.
Використовуючи формулу (112.3) та (112.4), знаходимо закон зміни струму з часом:
, (112.6)
де – початкове значення струму, тобто струм при .
2. Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу при зарядженні конденсатора.
Рисунок 112.2
Це завдання вирішується аналогічно до вищевикладеного. Нехай у коло конденсатора з опором включено джерело струму з постійною електрорушійною силою (див. рис. 112.2). Після замикання ключа джерело збуджує струм, що заряджає конденсатор. Електричні заряди, що з’являються на обкладках конденсатора перешкоджають проходженню струму й зменшують його.
Розглянемо ділянку кола 1–А–2 (див. рис. 112.2). Згідно закону Ома електричний струм, що проходить по цій ділянці, дорівнює
. (112.7)
Тут та – потенціали відповідно пластин 1 та 2 (див. рис. 112.2). Різницю потенціалів знаходимо аналогічно як і в (112.2) , де – заряд на пластині 1 конденсатора. Стум на опорі і заряд на пластині 1 конденсатора пов’язані співвідношенням (112.3) . Також тут потрібно звернути увагу не те, що джерело струму у випадку рис. 112.2 включено так, що діє у напрямку, протилежному напрямку обходу контура (напрямок обходу тут вибрано проти годинникової стрілки, напрямок сили струму збігається з напрямком обходу). Тому у співвідношення (112.7) потрібно підставити ЕРС із знаком «–»: . Також у (112.7) підставляємо різницю потенціалів і силу струму і отримуємо
.
Це рівняння можемо перетворити
. (112.8)
Співвідношення (112.8) є неоднорідним диференціальним рівняння. Воно зводиться до однорідного, якщо його записати у вигляді
.
Розділяючи змінні, отримаємо
або .
Тут використали, що в момент часу заряд на конденсаторі дорівнював нулю. Далі отримуємо шукану залежність заряду конденсатора від часу
. (112.9)
При заряд прямує до граничного значення .
Для електричного струму залежність від часу отримуємо, виходячи з (112.3),
. (112.10)
Знак «–» говорить про те, що струм у контурі (див. рис. 112.2) проходить у зворотному напрямку до обходу контуру. Струм максимальний у початковий момент і дорівнює . Далі він зменшується за експонентним законом.