деw- циклічна частота; – хвильове число;l- довжина хвилі.
Групова швидкість
.
2 Співвідношення де Бройля
, ,
де Е – енергія частинки, що рухається; p – імпульс частинки; – хвильовий вектор; ; - стала Планка, поділена на .
3 Зв’язок між імпульсом p частинки, що рухається, та довжиною хвилі де Бройляlдля двох випадків:
а) у класичному наближенні (; ):
,
де m0 –маса спокою частинки;
б) у релятивістському випадку (коли швидкістьuпорівнянна зі швидкістю с світла у вакуумі, ):
.
4 Зв’язок довжини хвилі де Бройля з кінетичною енергією Ek частинки:
а) у класичному наближенні ,
б) у релятивістському випадку , де Е0 – енергія спокою частинки ().
5 Співвідношення невизначеностей:
а) для координати та імпульсу частинки
,
деDpx – невизначеність проекції імпульсу частинки на вісь x;
Dx – невизначеність її координати;
б) для енергії і часу
,
деDЕ – невизначеність енергії даного квантового стану;Dt – час перебування системи в цьому стані.
6 Одновимірне часове рівняння Шредінгера
,
де i – уявна одиниця (i = ); m – маса частинки; - хвильова функція, яка описує стан частинки.
Хвильова функція, яка описує одновимірний рух вільної частинки,
,
де А – амплітуда хвилі де Бройля; p – імпульс частинки; Е – повна енергія частинки.
Умова нормування хвильової функції
.
Одновимірне рівняння Шредінгера для стаціонарних станів
,
де Е – повна енергія частинки; U(x) – потенціальна енергія;y(x) – координатна (або амплітудна) частина хвильової функції,
або в операторній формі
,
де - оператор Лапласа.
У випадку гармонічного осцилятора рівняння Шредінгера має вигляд
,
де m – маса частинки; - власна частота класичного гармонічного осцилятора; k – коефіцієнт жорсткості.
Для випадку тривимірної задачі рівняння Шредінгера має вигляд
.
При розв’язанні рівняння Шредінгера слід враховувати стандартні умови, яким повинна задовольняти хвильова функція: скінченність (у всьому просторі), однозначність, неперервність самоїy- функції та її першої і другої похідної.
7 Ймовірність dW знайти частинку в інтервалі від x до x+dx (в одновимірному випадку) визначається формулою
,
де - густина ймовірності.
Ймовірність W знайти частинку в інтервалі від x1 до x2 знаходиться інтегруванням dW за зазначеними межами інтегрування
.
8 Власне значення енергії En частинки, яка перебуває на n-му енергетичному рівні в нескінченно глибокій одновимірній прямокутній потенціальній ямі, визначається формулою
,
де l – ширина потенціальної ями.
Власна хвильова функція, що відповідає цій енергії, має вигляд
.
Власні значення енергії гармонічного осцилятора
,
де n = 0,1,2,3,…
Енергія нульових коливань гармонічного осцилятора
.
9 Коефіцієнт заломлення nз хвиль де Бройля на межі низького потенціального бар’єра нескінченної ширини (рис.1):
,
деl1 іl2 – довжини хвиль де Бройля в областях I і II (частинка рухається із області I в II); k1 і k2 – відповідні значення хвильових чисел.
10 Коефіцієнти відбиванняrі проходженняtхвиль де Бройля на межі низького (U
, ,
де k1 і k2 – хвильові числа хвиль де Бройля в областях I і II.