загрузка...
 
3 Елементи квантової механіки
Повернутись до змісту

3 Елементи квантової механіки

1 Фазова швидкість хвилі де Бройля

,

де w - циклічна частота;  – хвильове число; l - довжина хвилі.

Групова швидкість

.

2 Співвідношення де Бройля

, ,

де Е – енергія частинки, що рухається; p – імпульс частинки;  – хвильовий вектор; ; - стала Планка, поділена на .

3 Зв’язок між імпульсом p частинки, що рухається, та довжиною хвилі де Бройля l для двох випадків:

а) у класичному наближенні (; ):

,

де m0 –маса спокою частинки;

б) у релятивістському випадку (коли швидкість u порівнянна зі швидкістю с світла у вакуумі, ):

.

4 Зв’язок довжини хвилі де Бройля з кінетичною енергією Ek  частинки:

а) у класичному наближенні ,

б) у релятивістському випадку , де Е0 – енергія спокою частинки ().

5 Співвідношення невизначеностей:

а) для координати та імпульсу частинки

,

де Dpx – невизначеність проекції імпульсу частинки на вісь x;

Dx – невизначеність її координати;

б) для енергії і часу

,

де DЕ – невизначеність енергії даного  квантового стану; Dt – час перебування системи в цьому стані.

6 Одновимірне часове рівняння Шредінгера

,

де i – уявна одиниця (i = ); m – маса частинки;  - хвильова функція, яка описує стан частинки.

Хвильова функція, яка описує одновимірний рух вільної частинки,

,

де А – амплітуда хвилі де Бройля;   p – імпульс частинки; Е – повна енергія частинки.

Умова нормування хвильової функції

.

Одновимірне рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

,

де Е – повна енергія частинки; U(x) – потенціальна енергія; y(x) – координатна (або амплітудна) частина хвильової функції,

або в операторній формі

,

де  - оператор Лапласа.

У випадку гармонічного осцилятора рівняння Шредінгера має вигляд

,

де m – маса частинки;  - власна частота класичного гармонічного осцилятора; k – коефіцієнт жорсткості.

Для випадку тривимірної задачі рівняння Шредінгера має вигляд

.

При розв’язанні рівняння Шредінгера слід враховувати стандартні умови, яким повинна задовольняти хвильова функція: скінченність (у всьому просторі), однозначність, неперервність самої y - функції та її першої і другої похідної.

7 Ймовірність dW знайти частинку в інтервалі від x до x+dx (в одновимірному випадку) визначається формулою

,

де  - густина ймовірності.

Ймовірність W знайти частинку в інтервалі від x1 до x2 знаходиться інтегруванням dW за зазначеними межами інтегрування

.

8 Власне значення енергії En частинки, яка перебуває на n-му енергетичному рівні в нескінченно глибокій одновимірній прямокутній потенціальній ямі, визначається формулою

 ,

де l – ширина потенціальної ями.

Власна хвильова функція, що відповідає цій енергії, має вигляд

.

Власні значення енергії гармонічного осцилятора

,

де n = 0,1,2,3,…

Енергія нульових коливань  гармонічного осцилятора

.

9 Коефіцієнт заломлення nз хвиль де Бройля на межі низького потенціального бар’єра нескінченної ширини (рис.1):

,

де l1 і l2 – довжини хвиль де Бройля в областях I і II (частинка рухається із області I в II); k1 і k2 – відповідні значення хвильових чисел.

10 Коефіцієнти відбивання r і проходження t хвиль де Бройля на межі низького (U

, ,

де k1 і k2 – хвильові числа хвиль де Бройля в областях I і II.

 

Рисунок 64 - Проходження квантовою частинкою низького потенціального бар’єра нескінченної ширини

11 Коефіцієнт прозорості D прямокутного потенціального бар’єра скінченної ширини

,

де U – висота потенціального бар’єра; E – енергія частинки;

d – ширина бар’єра; m – маса частинки.



загрузка...