загрузка...
 
Приклади розв’язання задач
Повернутись до змісту

Приклади розв’язання задач

Приклад 1 Як і у скільки разів зміниться потік енергії, що випромінюється абсолютно чорним тілом, якщо максимум енергії випромінювання переміститься з червоної межі видимого спектра (m1 = 780 нм) на фіолетову (m2=390 нм)?

Розв’язання. Потік енергії, що випромінюється тілом, дорівнює

,                                       (1)

де   – енергетична світність абсолютно чорного тіла; S - його площа.

Енергетичну світність абсолютно чорного тіла визначимо з рівняння Стефана-Больцмана

.                                       (2)

Для знаходження температури тіла скористаємося законом зміщення Віна

.                            (3)

Підставивши вираз (2) і (3) в (1), одержимо

.                                         (4)

Для різних довжин хвиль потік енергії, що випромінюється тілом,  визначається такими виразами:

,                                     (5)

.                                    (6)

Розділивши рівняння (6) на (5), одержимо

.                      (7)

Підставивши у вираз (7) числові значення величин, одержимо

.

Відповідь: .

Приклад 2 На металічну пластину падає монохроматичний пучок світла з частотою  = 7,3?1014 Гц. Червона межа фотоефекту  для даного матеріалу дорівнює 0 = =560 нм. Визначити максимальну швидкість umax фотоелектронів.

Розв’язання. Для визначення максимальної швидкості фотоелектронів скористаємось рівнянням Ейнштейна для фотоефекту

      .                            (8)

Робота виходу фотоелектронів з металу дорівнює

       .                                      (9)

Підставимо вираз (9) в (8):

.                         (10)

Розв’язавши це рівняння відносно швидкості, одержимо :

   ,

   .

Підставивши числові значення фізичних величин в останнє співвідношення одержимо відповідь:

м/c.

Відповідь: м/c.

Приклад 3 Фотон з енергією Е = 10 еВ падає на срібну пластину і викликає фотоефект. Визначити імпульс р, отриманий пластиною, вважаючи, що напрями руху фотона і

фотоелектрона лежать на одній прямій, перпендикулярній до поверхні пластини.

Розв’язання. При падінні фотона на срібну пластинку з неї вибивається фотоелектрон. Закон збереження імпульсу в даному випадку має вигляд

,

де , ,  - імпульси фотона, пластинки та електрона відповідно.

Звідси з урахуванням напрямків векторів отримаємо:

.                                    (11)

Імпульс фотона дорівнює

,                                        (12)

де  – швидкість світла.

Імпульс електрона визначається співвідношенням

.                                        (13)

Швидкість фотоелектрона знайдемо з рівняння Ейнштейна для фотоефекту:

      .             (14)

Підставивши вираз (14) в (13), одержимо

.             (15)

Тепер підставимо співвідношення (12) і (15) в (11):

     .                         (16)

Після підстановки числових значень величин одержимо відповідь:

Відповідь: р = 1,24·10-19  кг?м/с.

Приклад 4 Визначити імпульс електрона віддачі, якщо фотон з енергією Е = 1,53 МеВ у результаті розсіювання на вільному електроні втратив 1/3 своєї енергії.

Розв’язання. Для розв’язання задачі спочатку знайдемо енергію розсіяного фотона. Для цього скористаємося формулою Комптона

,

де  - довжини хвиль фотона, що падає на електрон, та розсіяного відповідно.

Виразимо довжини хвиль  і  відповідних фотонів через їх енергії  і . У результаті одержимо

.             (17)

Поділимо обидві частини цієї рівності на :

.                               (18)

Врахуємо, що за умовою задачі енергія розсіяного фотона складає , звідси одержимо:

,

,

.                              (19)

Тепер знайдемо із співвідношення (18) енергію розсіяного фотона :

.                    (20)

Кінетичну енергію електрона віддачі можна визначити за законом збереження енергії:

.

Кінетична енергія пов'язана з імпульсом частинки співвідношенням

.

Звідси

.                                (21)

Підставивши у вираз (21) значення  із співвідношення (20), одержимо

.                 (22)

Нарешті, підставимо в (22) значення кута розсіяння фотона з виразу (19), тоді знайдемо

Після підстановки числових величин, одержимо остаточно

.

Відповідь: ре = 4,71?10-22 Н·с= 0,88 МеВ/с.

Приклад 5  Тиск   світла   на  дзеркальну   поверхню  Р = =5 мПа. Визначити концентрацію n0 фотонів поблизу поверхні, якщо довжина хвилі світла, що падає на поверхню,  = 0,5 мкм.

Розв’язання. Сила світлового тиску на поверхню дорівнює добутку тиску  на площу поверхні :

       .                                    (23)

Світловий тиск визначається за формулою

 ,                              (24)

де  – енергетична освітленість поверхні; *– коефіцієнт її віддзеркалення.

Підставивши вираз (24) в (23), одержимо

,          (25)

де – потужність випромінювання (потік випромінювання)

Звідси

.

Добуток енергії  одного фотона на число фотонів , що за одну секунду падають на поверхню, дорівнює потужності випромінювання. Звідси потік випромінювання . Енергія фотона дорівнює , тоді

 .

Число фотонів, що падає на одиницю поверхні, можна знайти з виразу

          .                            (26)

Підставивши у (26) співвідношення (25), одержимо

.

Після підстановки числових значень величин знайдемо відповідь:

12,6·1015 м-3.

Відповідь: n0 = 12,6·1015 1/м3.

Приклад 6 Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорювальну різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля  для двох випадків:

1) 2) .

Розв’язання. Довжина хвилі де Бройля  частинки залежить від її імпульсу р і визначається виразом

.                                          (27)

Імпульс частинки можна знайти, якщо відома її кінетична енергія Ek. Зв’язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського (коли ) і релятивістського (коли ) випадків визначається співвідношеннями:

, ,

де  - енергія спокою частинки.

Вираз (27) з урахуванням цих співвідношень запишеться у нерелятивістському та релятивістському випадках таким чином:

 , .              (28)

Порівняємо кінетичні енергії електронів, що пройшли задані в умові задачі різниці потенціалів , з енергією спокою електрона і залежно від цього зробимо висновок, яку з наведених формул необхідно використовувати для розрахунків довжини хвилі де Бройля.

            Кінетична енергія електрона, що пройшов прискорювальну різницю потенціалів U, дорівнює

.                                        (29)

У першому випадку   МеВ, тобто кінетична енергія набагато менша від енергії спокою електрона . Тому для розрахунків можна використати нерелятивістську формулу.

У другому випадку кінетична енергія , тобто більша, ніж енергія спокою електрона. Тому в цьому випадку необхідно використати релятивістську формулу.

            З урахуванням виразу (29) співвідношення (28) наберуть вигляду

, .        (30)

Після підставлення числових значень фізичних величин  у співвідношення (30) одержимо відповідь:

,

.

Перевіримо розмірності одиниць одержаної величини:

.

Відповідь: 1,58?10-10 м; 1,26?10-12 м.

Приклад 7 Кінетична енергія електрона в атомі водню приблизно дорівнює Ek = 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.

Розв’язання. Для розв’язання задачі використаємо співвідношення невизначеностей

,

де  –  невизначеність    координати      частинки; - невизначеність імпульсу частинки;  - стала Планка.

Нехай атом має лінійні розміри , тоді електрон атома буде перебувати десь в межах цієї області з похибкою

.

У цьому випадку співвідношення невизначеностей набирає вигляду

,

звідси

   .                                   (31)

Фізично розумна невизначеність імпульсу  не повинна перевищувати значення самого імпульсу , тобто . Імпульс  пов’язаний з кінетичною енергією  співвідношенням

.

Підставивши ці вирази у (31) та перейшовши від нерівності до рівності, одержимо

.

Після підставлення числових значень фізичних величин одержимо відповідь:

.

Проведемо перевірку одиниць одержаної величини:

.Відповідь: .

Приклад 8 Електрон з кінетичною енергією Ek = 15 еВ локалізований в області розміром  = 1 мкм. Оцінити за допомогою співвідношення невизначеностей відносну невизначеність його швидкості.

Розв’язання. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга має вигляд

,                                      (32)

де  – невизначеність координати електрона; *- невизначеність його імпульсу.

Врахуємо, що імпульс частинки дорівнює

.                    (33)

Підставимо вираз (33) в (32) і одержимо

.

Врахуємо, що .

.

Звідси

 .                                    (34)

Імпульс частинки пов'язаний з його кінетичною енергією виразом

.

З рівняння знайдемо, що

 .                         (35)

Відносну невизначеність швидкості електрона знайдемо, розділивши рівняння (34) на (35):

.

Після підставлення числових значень величин одержимо

.

Відповідь: .

Приклад 9 Електрон перебуває у потенціальній ямі шириною l (рис.65). В яких точках у інтервалі (0  x  l) густина ймовірності перебування електрона на першому та другому енергетичних рівнях однакова? Розрахувати густину ймовірності для цих точок.

 

Рисунок 65 - Частинка в одновимірній потенціальній ямі

Згідно з умовою квантова частинка може рухатись тільки вздовж осі x. При цьому рух обмежується непроникними для частинки стінками: і. Потенціальна енергія у цьому випадку має вигляд, зображений на рис.61: вона дорівнює нулю при  і обертається у нескінченність при  та .

Для розв’язання задачі використаємо рівняння Шредінгера для одновимірного випадку

 .                          (36)

За межі потенціальної ями частинка потрапити не може. Тому ймовірність виявлення частинки зовні ями дорівнює нулю. Відповідно і функція  за межами потенціальної ями повинна дорівнювати нулю. Із умови неперервності випливає, що хвильова функція  дорівнює нулю і на межах ями, тобто

.                            (37)

Цю умову повинен задовольняти розв’язок рівняння (36).

В області , де хвильова функція не дорівнює нулю, рівняння (36) має вигляд

(у цій області ). Введемо позначення

,

у результаті отримаємо добре відоме з теорії коливань співвідношення

.

Розв’язок цього рівняння має вигляд

.

Умову (37) можна задовольнити відповідним вибором сталих  і . Із умови  одержимо

,

звідси випливає, що стала  повинна дорівнювати нулю. Крім того, має виконуватись умова

 ,                           (38)

що можливо лише у випадку, якщо

 

( не має фізичного змісту, оскільки при цьому , тобто частинка не існує).

Підставивши значення  у співвідношення (38), одержимо власні функції частинки у потенціальному ящику шириною l:

.

Для знаходження коефіцієнта А використаємо умову нормування хвильової функції, яка у даному випадку має вигляд

.

На кінцях проміжку інтегрування підінтегральна функція перетворюється у нуль. Тому значення інтеграла можна одержати, помноживши середнє значення  (яке, як добре відомо, дорівнює 0,5) на довжину проміжку : , звідки . Таким чином, власні функції мають вигляд

,

де

На першому та другому енергетичних рівнях ці функції мають вигляд

,         (39)

Ймовірність перебування частинки у будь-якій точці потенціальної ями на цих рівнях визначається співвідношеннями:

,

.

Згідно з умовою задачі густина ймовірності перебування квантової частинки у деяких точках на першому і другому рівнях енергії однакова, звідси . Після зіставлення співвідношень (39) одержимо

.

Розв’язавши тригонометричне рівняння , одержимо .

Підставивши відповідні значення x у співвідношення , одержимо відповідь:

, .

Відповідь: .

Приклад 10 Визначити довжину хвилі і енергію  фотона - лінії рентгенівського спектра, що випромінюється ренієм при бомбардуванні його швидкими електронами.

Розв’язання. При бомбардуванні ренію швидкими електронами виникає рентгенівське випромінювання, що має лінійчастий спектр. Ці електрони проникають всередину

електронної оболонки атома та вибивають електрони, що належать до глибинних електронних оболонок. Найближча до ядра електронна оболонка (К-оболонка) має два електрони. Якщо один з цих електронів виявляється вибитим за межі атома, то на вільне місце переходить електрон з оболонки, що лежить вище (L, M, N). При цьому виникає відповідна лінія К-серії. При переході електрона з L-оболонки на К-оболонку випромінюється найінтенсивніша  лінія рентгенівського спектра.

Довжина хвилі цієї лінії визначається за законом Мозлі:

.

З цього співвідношення

.

Після підставлення значень фізичних величин одержимо відповідь

.

Знаючи довжину хвилі, визначимо енергію фотона за виразом

.

Після підставлення числових значень величин знайдемо

.

Відповідь: ; .

Приклад 11 Визначити енергію електрона, що перебуває на другій орбіті атома водню.

Розв’язання. Згідно з теорією Бора радіус електронної орбіти і швидкість електрона на ній пов’язані співвідношенням

 ,                                          (40)

де е і m – заряд і маса електрона; n - головне квантове число (n=1, 2,3,...).

У цей вираз входять дві невідомі величини  і . За друге рівняння використаємо рівняння руху електрона. Згідно з теорією Бора електрон обертається навколо ядра. При цьому сила взаємодії між електричним зарядом ядра і електроном надає електрону доцентрового прискорення. З використанням другого закону Ньютона можна записати

 .                                (41)

З цього рівняння знайдемо швидкість електрона:

 .                                (42)

Розв’язавши разом рівняння (40) та (42), одержимо

   .                            (43)

Енергія атома складається з кінетичної енергії електрона та енергії взаємодії електрона з ядром:

   .                       (44)

З використанням співвідношення (41) одержимо

.

Підставивши цей вираз у співвідношення (44), знайдемо

.

Нарешті, з використанням співвідношень (42) та (43) визначимо значення енергії електрона на другій борівській орбіті:

.

Після підставлення числових значень величин знайдемо

Відповідь:.

Приклад 12 Електрон у збудженому атомі гелію перейшов з п’ятого енергетичного рівня на другий. Визначити енергію фотона, що при цьому випромінюється.

Розв’язання. Для визначення енергії фотона скористаємось серіальною формулою для воднеподібних іонів

 ,                      (45)

де  - довжина хвилі фотона; R – стала Рідберга; z – заряд ядра у відносних одиницях (при z = 1 формула набирає вигляду, що є характерним для водню); n – номер орбіти, на яку перейшов електрон; m - номер орбіти, з якої перейшов електрон (n і m – головні квантові числа).

Енергія фотона Е визначається співвідношенням

.

Тому, помноживши обидві частини рівняння (45) на , одержимо вираз для енергії фотона у вигляді

.

Оскільки всі величини у співвідношенні відомі, проведемо розрахунок Е:

.

Відповідь: .

Приклад 13 Знайти енергію основного стану атома водню.

Розв’язання. Рівняння Шредінгера для тривимірного випадку має вигляд

.

Оскільки задача є симетричною, це рівняння зручно записати у сферичних координатах. Зв’язок між декартовими та сферичними координатами має такий вигляд:

,

,

.

Після підставлення цих виразів рівняння Шредінгера набирає вигляду

. (46)

Для того щоб одержати рівняння Шредінгера для атома водню, необхідно врахувати, що потенціальна енергія електрона має вигляд , де . Як розв’язок диференціального рівняння хвильову функцію візьмемо у вигляді . Підставляючи цей вираз у співвідношення (46) і враховуючи, що часткові похідні  та  перетворюються у нуль, одержимо

.

Після ряду перетворень одержимо:

,

,

.            (47)

Прирівняємо члени, що містять :

,

звідси

 .                                   (48)

Прирівняємо вільні члени рівняння (47):

,

тоді

.

Підставляючи у це рівняння співвідношення (48), одержимо кінцевий результат

.

Після підставлення числових значень m, e,  знайдемо

.

Відповідь:.

Приклад 14   Моноенергетичний потік електронів (Е = =100 еВ) падає на низький прямокутний потенціальний бар'єр нескінченної ширини (рис.64). Визначити висоту потенціального бар'єра U, якщо відомо, що 4% електронів, що падають на бар'єр відбиваються.

Розв’язання. Коефіцієнт відбиття електронів від низького потенціального бар'єра задається виразом

,

де k1 і k2 – хвильові числа, які відповідають руху електронів у областях I та II.

В області I кінетична енергія електрона дорівнює Ek, відповідно хвильове число задається виразом

.

Оскільки координата електрона не визначена, імпульс електрона визначається точно, а із цього випливає, що можна говорити про точне значення його кінетичної енергії.

В області II кінетична енергія електрона дорівнює , відповідно хвильове число записується у вигляді

.

Тоді коефіцієнт відбиття можна записати таким чином:

 .             (49)

Поділимо чисельник та знаменник дробу (49) на :

 .                         (50)

Розв’язавши рівняння  (50) відносно , одержимо

.

Підносячи обидві частини рівності до квадрата, знайдемо висоту потенціального бар’єра

.                   (51)

Після підставлення числових значень фізичних величин у співвідношення (51) знайдемо відповідь:

.

Відповідь: .

Приклад 15 Визначити масу ізотопу , що має активність А = 37 ГБк.

Розв’язання. Активність радіоактивного ізотопу пов'язана з числом атомів співвідношенням

,                                           (52)

де   стала радіоактивного розпаду.

Ця стала може бути визначена за періодом напіврозпаду ізотопу

 .                                      (53)

За визначенням кількість молів речовини дорівнює

,                   (54)

де  – молярна маса ізотопу йоду;  - число Авогадро.

Підставивши вирази (53) і (54) в (52), одержимо

.

Звідси

.

Після підставлення числових значень фізичних величин одержимо

кг.

Відповідь: кг.

Приклад 16 Період напіврозпаду ізотопу стронцію  складає 28 років. Знайти середній час життя ядра цього ізотопу.

Розв’язання.  Кількість ядер , що розпадаються за проміжок часу від  до , дорівнює

,

де  – стала розпаду.

Час життя кожного з цих ядер дорівнює . Сума часів життя всіх  ядер, які були при , може бути отримана інтегруванням виразу . Розділивши результат на , отримаємо середній час життя радіоактивного ядра:

.

З урахуванням того, що стала розпаду  і період напіврозпаду пов’язані співвідношенням

,

отримаємо

                                              .                                           (55)

Після підставлення числових значень величин у співвідношення (55) знайдемо

року.

Відповідь: року.

Приклад 17 Середній час життя атомів деякої радіоактивної речовини с. Визначити ймовірність  того, що ядро атома розпадеться за проміжок часу с.

Розв’язання. За проміжок часу  розпадається кількість атомів

.

Ймовірність розпаду одного атома дорівнює

.

Після підставлення числових значень у це співвідношення знайдемо

.

Відповідь: .

Приклад 18 Знайти енергію реакції , якщо відомо, що кінетична енергія протона =5,45 МеВ, ядра гелію  = 4 МеВ, і що ядро гелію вилетіло під кутом 900 до напряму руху протона. Ядро-мішень  нерухоме.

Розв’язання. Енергія реакції  є різницею між сумою кінетичних енергій ядер-продуктів реакції і кінетичною енергією ядра, що викликає реакцію

                              .                             (56)

У цьому виразі невідома кінетична енергія  літію. Для її визначення скористаємося законом збереження імпульсу

                                            .                                  (57)

Вектори  і  за умовою задачі взаємно перпендикулярні і, отже, разом з вектором  утворюють прямокутний трикутник. Тому

                             .                       (58)

Виразимо в цій рівності імпульси ядер через їх кінетичні енергії. Оскільки кінетичні енергії ядер за умовою набагато менші від енергій спокою цих ядер, то можна скористатися  формулою класичної фізики

                                       .                                   (59)

Замінивши у рівнянні (58) квадрати імпульсів ядер їх виразами (59), після спрощення отримаємо

                           ,

звідки

                               .

Підставивши цей вираз у співвідношення (56), знайдемо

                           .            (60)

Після  підставлення у вираз (60) числових значень величин у МеВ та а.о.м., одержимо

=2,13 МеВ.

Відповідь: 2,13 МеВ.

Приклад 19 Радіоактивне ядро магнію  викинуло позитрон і нейтрино. Визначити енергію   - розпаду ядра.

Розв’язання. Реакцію  - розпаду ядра магнію можна записати так:

                                   .

Припускаючи, що ядро магнію було нерухомим, і враховуючи, що маса спокою нейтрино практично дорівнює нулю, напишемо рівняння енергетичного балансу. На підставі закону збереження релятивістської повної енергії маємо

          .                 (61)

Енергія розпаду дорівнює

          .               (62)

Виразимо маси ядер магнію і натрію через маси відповідних нейтральних атомів

         .               (63)

Оскільки маси спокою електрона і позитрона однакові, то після спрощень співвідношення (63) отримаємо

                     .

Зробивши підставлення числових значень величин у МеВ та а.о.м. у цей вираз, знайдемо

=3,05 МеВ.

Відповідь: 3,05 МеВ.

Приклад 20 Яку масу води, взятої при 00 С, можна закип'ятити, використовуючи енергію термоядерного синтезу гелію з дейтерієм і тритієм, якщо ККД перетворення енергії дорівнює 10%? Маса гелію, що утворився,  1 г.

Розв’язання. Запишемо рівняння ядерної реакції синтезу гелію:

                                  .

Маса спокою частинок, що утворилися, менша ніж маси спокою частинок, що вступили в реакцію, тому в процесі синтезу ядер виділиться енергія

                               .                     (64)

При одиничному акті термоядерного синтезу виділяється енергія  і витрачається маса 5 а.о.м.=5?1,67?10-27 кг дейтерію і тритію. Отже, використавши паливо масою , ми вивільнимо енергію

                                          .                                           (65)

Вода при цьому отримає кількість теплоти

                                                    .                                    (66)

Використавши зв'язок між кількістю теплоти і теплоємністю води, можна записати

                                                .                               (67)

Прирівнявши співвідношення (66) та (67) отримаємо

                                                 ,

звідки

                                                .                                     (68)

Підставивши в даний вираз співвідношення (64)  та (65), отримаємо остаточно

                               .                 (69)

Після підставлення числових значень у цей вираз знайдемо

=50?103 кг.

Це у 50 млн разів більше, ніж маса термоядерного палива, яке було використано на нагрівання!

Відповідь: 50 т.



загрузка...