Деформация проявляется в изменении положения одних точек тела по отношению к другим, т. е. общим перемещением точек под действием напряжений, если не происходит поступательного и вращательного движения тела. Пусть точка Р, характеризуемая в прямоугольной системе координатами xi (x1 , x2, x3 ), смещена в положение, определяемое через, где. Тогда () является перемещением точки Р. Чтобы произошла деформация, должно измеряться от одной точки к другой. Следовательно,является функцией xi . Для малых деформаций зависимостьот принимают линейной: . Если все смещения представляют линейные функции начальных координат, то +++
где
(2.14)
или в сокращенной записи
(2.15)
где каждый коэффициент— константа пропорциональности, соответствующая смещению в направлении оситочек, лежащих
на оси.
Рисунок 2.16 - Определение деформации сдвигаи чистого сдвига (б) для бесконечно малых деформаций
Можно соотнести значения с общепринятыми растягивающими и сдвиговыми напряжениями, рассматривая плоскую систему деформаций. Пусть точкапереходит в ,
где
(2.16)
Проследим движение точкипо оси. Начальное расстояние точки от начала координат О составляет отрезок OP = x1. После деформации координаты точки Р' будути, где
(2.17)
Из первого уравнения этой системы видно, что(приросту длины)/(исходную длину) представляет собой простую деформацию растяжения.
Членсоответствует сдвиговой деформации, но не равен ей, так как содержит вращательную компоненту. По определению деформация сдвигавыражается изменением угла между двумя линиями, которые до деформации были ортогональны (рис.2.16а). Общее изменение угла между двумя точками, вначале расположенными на осях X1 и Х2, равно. Состояние чистого сдвига достигается при,причем положительный знак берется при вращении от одной положительной полуоси к другой. Общая деформация сдвига (рис. 2.16б) равна (вначале жесткое тело перемещается вокруг точки О из ОР в ОР', а затем происходит сдвиг ON в, и деформация чистого сдвига, записываемая как, равна соответственно. Тогда деформацию чистого сдвига можно записать как
. (2.18)
Из этого выражения можно рассчитать растягивающие напряжения, если принять. Уравнение (2.18) определяет тензор деформации, который, подобно тензору напряжении, является симметричным тензором.
, определяемое через
, где
. Тогда 
(
) является перемещением точки Р. Чтобы произошла деформация,
должно измеряться от одной точки к другой. Следовательно,
является функцией xi . Для малых деформаций зависимость
от
принимают линейной: 
. Если все смещения представляют линейные функции начальных координат, то 
+
+
+
(2.14)
(2.15)
— константа пропорциональности, соответствующая смещению в направлении оси
точек, лежащих 
.
и чистого сдвига (б) для бесконечно малых деформаций
с общепринятыми растягивающими и сдвиговыми напряжениями, рассматривая плоскую систему деформаций. Пусть точка
переходит в 
,
(2.16)
по оси
. Начальное расстояние точки от начала координат О составляет отрезок OP = x1. После деформации координаты точки Р' будут
и
, где
(2.17)
(приросту длины)/(исходную длину) представляет собой простую деформацию растяжения.
соответствует сдвиговой деформации
, но не равен ей, так как содержит вращательную компоненту. По определению деформация сдвига
выражается изменением угла между двумя линиями, которые до деформации были ортогональны (рис.2.16а). Общее изменение угла между двумя точками, вначале расположенными на осях X1 и Х2, равно
. Состояние чистого сдвига достигается при
,причем положительный знак берется при вращении от одной положительной полуоси к другой. Общая деформация сдвига (рис. 2.16б) равна 
(вначале жесткое тело перемещается вокруг точки О из ОР в ОР', а затем происходит сдвиг ON в
, и деформация чистого сдвига, записываемая как
, равна соответственно
. Тогда деформацию чистого сдвига можно записать как
. (2.18)
. Уравнение (2.18) определяет тензор деформации
, который, подобно тензору напряжении, является симметричным тензором
.