загрузка...
 
1.1. Алгебра логіки
Повернутись до змісту

1.1. Алгебра логіки

Основу сучасних пристроїв обробки інформації складають цифрові (логічні) інтегральні мікросхеми (ІМС).

Аналіз роботи цифрових пристроїв базується на використанні апарату математичної логіки – алгебри Джорджа Буля (1815 – 1864 рр.). В її основі лежить поняття події, що оцінюється з точки зору її настання: вона може настати або не настати [2].

Тоді кожну подію можна вважати істинною, що може моделюватися одиницею "1" (високим рівнем напруги при електричному моделюванні), або хибною – моделюється нулем "0" (низьким рівнем напруги).

Обробка інформації, поданої у вигляді подій, проводиться у двійковій системі числення. Вона має тільки дві цифри: 0 і 1.

Величина, яка може набирати тільки ці два значення, називається двійковою (логічною) змінною.

Складна подія, що залежить від декількох двійкових змінних, називається двійковою (логічною, перемикальною) функцією

,

де .

Алгебра логіки дозволяє виконувати математичний запис логічних подій і зв’язків між ними, а це дає можливість аналітично описувати будову і роботу цифрових пристроїв (нагадаємо: цифрові пристрої обробляють інформацію, представлену у вигляді сигналів, що змінюються за законом дискретної функції).

В алгебрі логіки є три основних логічних дії (операції, функції):

1) операція НІ – логічне заперечення:

функція має зворотне значення до змінної, від якої вона залежить:

,

 (читається: y дорівнює не x);

2) операція АБО – логічне додавання (диз’юнкція):

функція істинна, якщо істинна хоча б одна з незалежних змінних, що до неї входять:

,

3) операція І – логічне множення (кон’юнкція):

функція істинна, якщо істинні усі незалежні змінні, що до неї входять:

.

Зверніть увагу: в алгебрі логіки немає операцій віднімання і ділення. Порядок дій в алгебрі логіки такий: перш за все виконується операція НІ, потім І й насамкінець АБО. Для зміни порядку дій, як і в звичайній алгебрі, застосовують дужки.

Для алгебри логіки справедливі закони:

1) переставний (комутативний):

;

2) сполучний (асоціативний)

 та ;

3) розподільний (дистрибутивний)

.

Зазначимо, що такі самі закони діють і в звичайній алгебрі.

Тотожності алгебри логіки:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

До основних законів алгебри логіки також належать закони інверсії для логічних додавання та множення – правила де Моргана:

.

Ці закони відіграють важливу роль при синтезі схем цифрових пристроїв, часто призводячи до суттєвого спрощення логічних функцій, а отже, і схем пристроїв, що їх реалізують.

Взагалі, знання законів алгебри логіки дозволяє отримувати оптимальну за заданими критеріями схему пристрою, що забезпечує використання мінімального числа уніфікованих елементів, високу швидкодію та надійність [3].

У кінці зазначимо, що у практичних цілях алгебру Буля першим у 1938 році застосував один із родоначальників математичної теорії інформації і кібернетики Клод Шеннон (США) при дослідженні електричних кіл з контактними перемикачами [2].



загрузка...