Основу сучасних пристроїв обробки інформації складають цифрові (логічні) інтегральні мікросхеми (ІМС).
Аналіз роботи цифрових пристроїв базується на використанні апарату математичної логіки – алгебри Джорджа Буля (1815 – 1864 рр.). В її основі лежить поняття події, що оцінюється з точки зору її настання: вона може настати або не настати [2].
Тоді кожну подію можна вважати істинною, що може моделюватися одиницею "1" (високим рівнем напруги при електричному моделюванні), або хибною – моделюється нулем "0" (низьким рівнем напруги).
Обробка інформації, поданої у вигляді подій, проводиться у двійковій системі числення. Вона має тільки дві цифри: 0 і 1.
Величина, яка може набирати тільки ці два значення, називається двійковою (логічною) змінною.
Складна подія, що залежить від декількох двійкових змінних, називається двійковою (логічною, перемикальною) функцією
,
де .
Алгебра логіки дозволяє виконувати математичний запис логічних подій і зв’язків між ними, а це дає можливість аналітично описувати будову і роботу цифрових пристроїв (нагадаємо: цифрові пристрої обробляють інформацію, представлену у вигляді сигналів, що змінюються за законом дискретної функції).
В алгебрі логіки є три основних логічних дії (операції, функції):
1) операція НІ – логічне заперечення:
функція має зворотне значення до змінної, від якої вона залежить:
,
(читається: y дорівнює не x);
2) операція АБО – логічне додавання (диз’юнкція):
функція істинна, якщо істинна хоча б одна з незалежних змінних, що до неї входять:
,
3) операція І – логічне множення (кон’юнкція):
функція істинна, якщо істинні усі незалежні змінні, що до неї входять:
.
Зверніть увагу: в алгебрі логіки немає операцій віднімання і ділення. Порядок дій в алгебрі логіки такий: перш за все виконується операція НІ, потім І й насамкінець АБО. Для зміни порядку дій, як і в звичайній алгебрі, застосовують дужки.
Для алгебри логіки справедливі закони:
1) переставний (комутативний):
;
2) сполучний (асоціативний)
та ;
3) розподільний (дистрибутивний)
.
Зазначимо, що такі самі закони діють і в звичайній алгебрі.
Тотожності алгебри логіки:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
До основних законів алгебри логіки також належать закони інверсії для логічних додавання та множення – правила де Моргана:
.
Ці закони відіграють важливу роль при синтезі схем цифрових пристроїв, часто призводячи до суттєвого спрощення логічних функцій, а отже, і схем пристроїв, що їх реалізують.
Взагалі, знання законів алгебри логіки дозволяє отримувати оптимальну за заданими критеріями схему пристрою, що забезпечує використання мінімального числа уніфікованих елементів, високу швидкодію та надійність [3].
У кінці зазначимо, що у практичних цілях алгебру Буля першим у 1938 році застосував один із родоначальників математичної теорії інформації і кібернетики Клод Шеннон (США) при дослідженні електричних кіл з контактними перемикачами [2].