загрузка...
 
ПРИКЛАДИ
Повернутись до змісту

ПРИКЛАДИ

Приклад 7

Визначити першу власну частоту системи (рисунок 22).

 

Рисунок 22

Розв’язання

Перейдемо від континуальної моделі до дискретної за допомогою дискретизації на скінченні елементи е1 (стрижень) і е2 (зосереджена маса). Такий підхід дозволить обмежитися визначенням першої власної частоти поздовжніх коливань конструкції.

Матриця інерції елементів е1 і е2:

де т – маса стрижня:

Матриця інерції системи

Матриця жорсткості системи

Кінематична гранична умова

и1 = 0.

Частотне рівняння з урахуванням граничної умови

звідки знаходимо першу власну частоту системи

Отриманий вираз для першої власної частоти системи можна записати у вигляді

де спр, тпр – наведені жорсткість і маса конструкції, що відповідають розгляду задачі про коливання пружно-масової системи з одним ступенем вільності, показаної на рисунку 23:

 

Рисунок 23

Приклад 8

Визначити перші три власні частоти й провести гармонійний аналіз системи (рисунок 24).

Рисунок 24

Розв’язання

Перейдемо від континуальної моделі до дискретної за допомогою дискретизації на скінченні елементи е1, е2 та е3. Такий підхід дозволить обмежитися визначенням трьох перших власних частот поздовжніх коливань конструкції, оскільки визначник складеного нижче вікового рівняння буде містити три рядки, отже, отримаємо бікубічне рівняння, що має три корені: ω1, ω2, ω3.

Матриці інерції елементів е1, е2, е3:

де т – маса стрижня:

Матриця інерції системи:

Матриці жорсткості елементів е1, е2, е3:

Матриця жорсткості системи

Кінематична гранична умова

Частотне рівняння з урахуванням граничної умови

або в розгорнутій формі

де введений новий параметр z – безрозмірна частота:

Отримане бікубічне рівняння можна розв’язати із застосуванням формул Кардано відносно , або чисельно за допомогою програмного пакета Mathcad Professional.

При цьому власні частоти системи дорівнюють

Як бачимо, значення власних частот завищені щодо точних значень, заснованих на вивченні континуальної системи, відповідно на 1, 10 й 20% (див. приклад 3).

Точність результатів можна значно підвищити шляхом дискретизації стрижня на чотири й більше скінченних елементи. Однак порядок вікового рівняння при цьому буде вище.

Проведення гармонійного аналізу засновано на розв’язанні матричного диференціального рівняння вимушених коливань системи з урахуванням граничних умов. У результаті приходимо до рівняння

що визначає амплітудно-частотні характеристики.

Зокрема, для нижнього кінця стрижня отримаємо (рисунок 25)

де с – коефіцієнт жорсткості стрижня:

 

Рисунок 25

Проаналізуємо отримані результати. Прирівнюючи до нуля визначник у виразі амплітуди коливань нижнього кінця стрижня, знайдемо частоти зовнішнього зусилля, при яких спостерігається явище антирезонансу

Корені даного біквадратного рівняння дорівнюють



загрузка...