3.4.2 Балковий тривузловий елемент

3.4.2 Балковий тривузловий елемент

Розглянемо балковий елемент з густиною ?, довжиною l, площею поперечного перерізу А, моментом інерції перерізу I і модулем пружності Е, обмежений трьома вузлами i, j, k (рисунок 57).

 

Рисунок 57 – Балковий тривузловий елемент

Функцію прогину усередині елемента можна інтерполювати поліномом п'ятого ступеня:

(149)

Функція кутів повороту набуває вигляду

(150)

Параметри а0, а1, …, а5 визначимо з таких умов:

  (151)

Розв’язуючи останню систему рівнянь, отримаємо:

(152)

Таким чином, формула (149) набуває вигляду

      (153)

де q – вектор вузлових переміщень:

(154)

Ф – матриця функцій форми елемента (рисунок 58):

(155)

 

Рисунок 58 – Функції форми балкового тривузлового елемента

За формулою (72) з урахуванням виразів (155) визначаємо матрицю інерції елемента:

де т – маса елемента:

(157)

Для випадку поперечного прогину балки внутрішня потенціальна енергія прогину [6] визначається за формулою

(158)

або з урахуванням формули (149):

(159)

На підставі формул (18) і (159) з урахуванням виразу (152) отримаємо матрицю жорсткості балкового тривузлового елемента