Шляхом розв'язання проблеми через тлумачення вже відомого у 60-ті роки XX ст. пішов відомий американський учений, автор теорії нечітких множин, точніше — підмножин, Л. А. Заде (нар. 1921), який досить своєрідно спробував зміцнити будову класичної теорії множин. На відміну від Брауера і його послідовників Заде вирішив зблизити актуальну й потенційну нескінченності, зробивши стосовно некласичних підмножин класичних множин базовими поняттями своїх теоретичних досліджень «нечіткість», «неясність», «випадковість», «можливість», «правдоподібність».
Для нової теорії потрібна була й нова логіка, яка дістала назву нечіткої. Філософська основа нечіткої логіки, на жаль, не досить виразна, але практична мета вже визначена — дослідження із «штучного інтелекту».
Теорія Заде — це теорія саме нечітких підмножин, а не множин. Американський учений не робить замаху на інтуїцію математиків, які розуміють під множиною сукупність добре означених об'єктів. Стосовно таких об'єктів тільки підмножини можуть бути нечіткими. Традиційну теорію множин можна розглядати як окремий випадок теорії нечітких підмножин. Збереження ж терміна «чітка множина» зумовлено тим, що область визначення нечіткої підмножини — це звичайна чітка множина.
Таким чином Заде намагається подолати суперечність між формалізмом і конструкціонізмом, між актуальною й потенційною нескінченностями. Наскільки це йому вдасться, покаже час, та вже сьогодні у вченого є багато прихильників серед математиків, логіків, кібернетиків та інженерів.
Розглянемо, що собою являє нечітка логіка.
Як зазначає відомий французький пропагандист теорії нечітких множин професор А. Кофман, у поєднанні термінів «нечіткий» і «логіка» криється щось незвичне.
Віддавна математики й логіки помітили, що в практиці наукового пізнання користуються не однією «універсальною» логікою, а різними логічними системами й методами. Все визначається вибором відповідних теоретико-методологічних настанов, зумовлених типом розв'язуваних задач. Так, якщо говорити про аксіоматичну логіку, то питання упирається у вибір системи аксіом. Як тільки аксіоми вибрано, всі твердження, що формулюються на їхній основі, мають бути строго й без суперечності пов'язані одне з одним відповідно до правил, встановлених у даній системі аксіом. Відповідно, якщо булева логіка — це логіка, пов'язана з булевою теорією множин, то нечітка логіка пов'язана з теорією нечітких підмножин. Розглянемо деякі характерні риси теорії нечітких підмножин.
Нехай М є множина, а Р — підмножина М(Ра М). Той факт, що елемент х множини М є елементом підмножини Р (належить Р), звичайно виражається так:
хе Р.
Означена тут нечітка підмножина вмістить невеликою
мірою х,, не містить х2, містить х, трохи більшою мірою, ніж х,, повністю містить х4 і значною мірою — х5.
Отже, можна створити якусь математичну структуру, яка дає змогу оперувати з відносно неповністю визначеними елементами, належність яких до підмножини лише якоюсь мірою ієрархічно упорядкована.
Розглянемо більш строге означення, яке дав поняттю «нечітка підмножина» Кофман.
Нехай М є множиною (зчисленною чи ні), а х — елементом М. Тоді нечіткою підмножиною Р множини М
називається множина упорядкованих пар, а саме:
{(х|ц (х))}, Ухе М,
де к (х) — міра (ступінь) належності х у Р, тобто характеристична функція належності, яка набуває своїх значень у цілком упорядкованій множині N. Ця функція вказує ступінь, чи рівень (міру), належності елемента х до підмножини Р. Множина N називається множиною належносте й.
Якщо N={0, 1}, то нечітка підмножина Р розглядатиметься вже як звичайна підмножина.
Таким чином, за Кофманом, поняття нечіткої підмножини пов'язане з поняттям множини у звичайному його розумінні й дає змогу вивчати нестрого ряд понять, використовуючи звичайні математичні структури.
Як приклад найпростіших операцій над нечіткими підмножинами розглянемо операцію включення.
Висловлення нечіткої логіки, як і висловлення звичайної формальної логіки, пов'язані з теорією нечітких підмно-жин і з традиційною теорією множин. Що стосується звичайної формальної логіки, то теоретико-множинним операціям п (перетин), и (об'єднання) і ""(доповнення) у ній відповідають зв'язки & (кон'юнкція), v (диз'юнкція) і -> (заперечення). У нечіткій логіці цим зв'язкам відповідатимуть відповідні нечіткі зв'язки А, V, г Використання таких зв'язок визначається найпростішими операціями над нечіткими підмножинами.
У реальному житті часто трапляються випадки, коли просто необхідно враховувати неясність і неточність інформації про явища й процеси навколишнього світу. Теорія Заде — це цікава й багатообіцяюча спроба дати хоча б схематичний начерк розв'язання подібних проблем. Цю теорію побудовано на базі теорії множин, хоч і в зовсім несподіваній інтерпретації деяких із цих множин (нечітких
підмножин). Тут простежується зв'язок між математикою й сучасною логікою, яка великою мірою постала завдяки теоретико-множинному підходу до розуміння основ математичної науки. У протилежному випадку варіант «нечіткої логіки» був би просто «екзотичним» зразком навколо-наукової фантазії. Важливим є ще й те, що за допомогою нечітких множин (підмножин) «перекидається місток» до так званої модальної логіки.
Заде протиставляє двозначній і навіть многозначній логіці логіку з нечіткою істинністю, нечіткими зв'язками й нечіткими висновками. На його думку, саме така нечітка логіка, ще не досить вивчена, відіграє основну роль у здатності людського мислення вибирати з широкого інформаційного потоку лише ті відомості, які мають хоча б посереднє відношення до розв'язуваної задачі. Особливо це стосується здатності людини вибирати корисну інформацію з повідомлень, котрі сформульовані природною мовою.
У зв'язку з таким поглядом на природну мову Заде вводить поняття «лінгвістична змінна». Значеннями лінгвістичної змінної є вирази природної чи штучної мови. Так, наприклад, якщо «високий», «дуже високий», «невисокий» тощо — це суть значення слова «висота», то «висота» вважається лінгвістичною змінною, оскільки її «висотність» варіюється у досить широкому діапазоні.
Ідею лінгвістичної змінної було висунуто в 1972 р. Ця ідея вказує на лінгвістичні аспекти відношення належності у нечітких підмножинах, тобто на належність якійсь нечіткій підмножині певного предмета, який характеризується словами природної мови. Наприклад, якщо висловлення про якийсь факт має відтінок невпевненості, то його можна характеризувати як істинне, дуже істинне, не дуже істинне тощо.
Отже, нечіткими називаються висловлення форми «з р випливає q», в яких змінні (р, q, ...) мають нечітке
значення. Наприклад: «з того, що р мале, випливає, що q
велике». Тут «мале» і «велике» розглядаються як елементи нечітко визначених множин.
Дещо пізніше Заде запропонував розглядати нечітку логіку з лінгвістичними, а не числовими («1», «0») значеннями істинності. Згідно з цією логікою висловлення може набувати істиннісних значень типу: істинне, ложне, абсолютно ложне, абсолютно істинне, не зовсім істинне, не зовсім ложне тощо. Кожне таке значення представляє нечітку підмножину одиничного інтервалу [0, 1].
Звернемося до словника й граматики нечіткої логіки з лінгвістичними змінними.
У кінці 70-х років XX ст. Заде оновив інтерпретацію понять теорії нечітких множин і накреслив нові перспективи розвитку власної теорії, сформулювавши так звану теорію можливостей. У контексті цієї теорії нечіткі множини (підмножини) розглядаються як «розподіли можливостей», тобто як множини більш чи менш можливих значень змінної.
На думку послідовників Заде, запропонована теорія можливостей являє собою узагальнення звичайної модальної семантики.