загрузка...
 
І.З.З. Функція технічної системи
Повернутись до змісту

І.З.З. Функція технічної системи

Будь-яка технічна система може функціонувати неперервно, вико­нуючи свою службову функцію упродовж тривалого часу, наприклад, хімічно-технологічні переробні системи, електроенергетичні системи, доменні печі для виробництва чавуну Це неперервні технічні системи.

На відміну від неперервних технологічних систем, у машинобудів­ному, приладобудівному, пакувальному та інших виробництвах широко застосовуються дискретні технологічні системи, особливістю яких є відносно короткий робочий цикл. Процес функціонування дискретної технічної системи являє собою багаторазову реалізацію технічної фун­кції (ознака “технічної” введена для відмінності від математичної фун­кції). Особливістю функціонування цих систем є сильний вплив випад­кових збурень на результат реалізації технічної функції. Цей результат при кожній реалізації може набувати значення, відмінного від попере­дніх, тобто відбувається розпорошування показників реалізації техніч­ної функції. Зокрема, якщо дискретна технічна система є промисловим роботом, який повинен подавати по одній деталі в задане місце, то по­казником реалізації технічної функції може бути вибрана похибка пози­ціонування, тобто різниця заданого та дійсного положень деталі. При тривалому функціонуванні промислового робота кожна з поданих дета­лей буде займати положення, що характеризуватиметься різними зна­ченнями похибок позиціонування, які зумовлені тепловими, вібрацій­ними, інерційними та іншими факторами збурення.

Тому для аналізу процесу функціонування дискретних технологіч­них систем доцільно використати апарат теорії випадкових процесів. Символічно технічна функція являє собою оператор технічної системи L. На технічний об’єкт діє зовнішнє середовище, вплив якого опишеть­ся вектором вхідних параметрів X. Результатом цієї дії буде реакція тех­нічної системи, що опишеться вектором вихідних параметрів Y. Опера­тор L задає ті операції, які необхідно здійснити над вхідним вектором X, щоб отримати заданий вихідний вектор У. При тривалому функціо­нуванні технічної системи ця технічна функція реалізується багато ра­зів, а значення вхідного і вихідного векторів опишуться вхідною і вихід­ною математичними функціями X(t), У(t). Оскільки технічна функція реалізується в однакових умовах багато разів, то дія випадкових збу­рень призводить до того, що як вхідна Х(t), так і вихідна У(t) функції можуть бути віднесені до випадкових.

Тоді задача проектування технічної системи полягатиме в тому, щоб за заданими ймовірнісними характеристиками випадкової функції Х{t), що надходить на вхід технічної системи, визначити цю технічну систе­му, тобто її оператор L та конструкцію, яка забезпечує реалізацію цього оператора, таким чином, щоб функція У(t), що отримається на виході, якнайкраще апроксимувала задану Y0(t). Для точного формулювання цієї задачі визначимо, що слід розуміти під найкращою апроксимацією функції Y(t) на виході технічної системи. Багаторазове спрацьовування технічної системи при тривалому функціонуванні в приблизно однакових умовах створює множину подій, які мають статистичну однорідність, що забезпечує ймовірнісний характер наближення реалізованої функції Y(t) до заданої чи бажаної функції Y0(t).

Найкращим наближенням можна вважати таке, при якому ймовір­ність того, що різниця між заданою функцією Y0(t) та реалізованою Y(t) була б мінімальною:

Найкращим наближенням можна також вважати таке, при якому математичне сподівання абсолютної величини різниці між показника­ми заданої та реалізованої функцій було б мінімальним, тобто

Найбільш простим критерієм наближення реалізованої функції до заданої можна вважати такий, який забезпечує мінімум математичного сподівання квадрата цієї різниці

який може бути поданий у вигляді двох умов:

Дійсно, якщо показники випадкової функції Y(t) розподілені за нор­мальним законом, цей критерій задовольняє всі розглянуті вимоги, бо тоді різниця  є також нормальною величиною із матема­тичним сподіванням  та дисперсією , а ймовірність того, що різниця показників перевищить задане значення , становитиме

де Ф(х) — інтегральна функція Лапласа.

Розглянемо задачу визначення функціональної точності техніч­ної системи для випадку, коли її технічна функція характеризується од­ним показником у. Це може бути лінійний розмір при обробці (технічна система — металорізальний верстат), маса продукту при фасуванні (тех­нічна система — дозатор) тощо. Необхідно визначити ймовірність того, що упродовж заданого часу функціонування технічної системи пара­метру не перевищить допустиму межу (в наведених прикладах техніч­ної системи така межа задасться технічними вимогами на точність де­талі чи на точність маси фасованого продукту). Якщо процес багатора­зової реалізації показника технічної функції зобразити як випадкову функцію, то наша задача зведеться до відомої в теорії випадкових функ­цій задачі про викиди випадкової функції за заданий рівень.

Нехай Y(t) — диференційований випадковий процес найбільш зага­льного вигляду. Нехай yM— задане максимальне значення ординати функції Y(t), викиди за яке є об’єктом дослідження.

Визначимо ймовірність того, що в нескінченно малому проміжкові часу dt, що безпосередньо настав після моменту часу t, відбудеться ви­кид. Для цього необхідно, щоб відбулися дві події, а саме: в момент t ордината випадкової функції була б менше yM0 тобто y(t) < yM0 у момент (t+dt) ордината випадкової функції повинна бути більше yM0 тобто у(t+dt) > yM0 . Тоді ймовірність викиду в інтервалі часу dt запишеться як . Врахувавши диференційованість функції У(t), отримаємо

Тоді нерівність  перетвориться як , що дає ймовірність викиду

У виразі використано двовимірний закон розподілу ординати випадко­вої функції та її похідної в один і той же момент часу t.

Оскільки інтервал інтегрування внутрішнього інтеграла дуже вузь­кий, тобто дорівнює безмежно малому значенню v*dt, то на основі тео­реми про середнє отримаємо

Тоді ймовірність викиду визначиться як

де  — ймовірність викиду за рівень yM в момент часу і, обчислена на одиницю часу, яку також називають часовою щільністю ймовірності викиду.

Аналогічно можна обчислити і часову щільність ймовірності пере­тину випадковою функцією рівня ym зверху вниз, яку позначимо як р(Ym). Тоді ймовірність викиду за верхню та нижню межі набуде вигляду

Як бачимо, ймовірність викиду в нескінченно малому інтервалі часу А пропорційна величині цього інтервалу. Для знаходження чисельних оцінок часових щільностей для ймовірностей викиду необхідно дослі­дити й побудувати модель процесу функціонування технічної системи для знаходження значень  

 



загрузка...