Будь-яка технічна система може функціонувати неперервно, виконуючи свою службову функцію упродовж тривалого часу, наприклад, хімічно-технологічні переробні системи, електроенергетичні системи, доменні печі для виробництва чавуну Це неперервні технічні системи.
На відміну від неперервних технологічних систем, у машинобудівному, приладобудівному, пакувальному та інших виробництвах широко застосовуються дискретні технологічні системи, особливістю яких є відносно короткий робочий цикл. Процес функціонування дискретної технічної системи являє собою багаторазову реалізацію технічної функції (ознака “технічної” введена для відмінності від математичної функції). Особливістю функціонування цих систем є сильний вплив випадкових збурень на результат реалізації технічної функції. Цей результат при кожній реалізації може набувати значення, відмінного від попередніх, тобто відбувається розпорошування показників реалізації технічної функції. Зокрема, якщо дискретна технічна система є промисловим роботом, який повинен подавати по одній деталі в задане місце, то показником реалізації технічної функції може бути вибрана похибка позиціонування, тобто різниця заданого та дійсного положень деталі. При тривалому функціонуванні промислового робота кожна з поданих деталей буде займати положення, що характеризуватиметься різними значеннями похибок позиціонування, які зумовлені тепловими, вібраційними, інерційними та іншими факторами збурення.
Тому для аналізу процесу функціонування дискретних технологічних систем доцільно використати апарат теорії випадкових процесів. Символічно технічна функція являє собою оператор технічної системи L. На технічний об’єкт діє зовнішнє середовище, вплив якого опишеться вектором вхідних параметрів X. Результатом цієї дії буде реакція технічної системи, що опишеться вектором вихідних параметрів Y. Оператор L задає ті операції, які необхідно здійснити над вхідним вектором X, щоб отримати заданий вихідний вектор У. При тривалому функціонуванні технічної системи ця технічна функція реалізується багато разів, а значення вхідного і вихідного векторів опишуться вхідною і вихідною математичними функціями X(t), У(t). Оскільки технічна функція реалізується в однакових умовах багато разів, то дія випадкових збурень призводить до того, що як вхідна Х(t), так і вихідна У(t) функції можуть бути віднесені до випадкових.
Тоді задача проектування технічної системи полягатиме в тому, щоб за заданими ймовірнісними характеристиками випадкової функції Х{t), що надходить на вхід технічної системи, визначити цю технічну систему, тобто її оператор L та конструкцію, яка забезпечує реалізацію цього оператора, таким чином, щоб функція У(t), що отримається на виході, якнайкраще апроксимувала задану Y0(t). Для точного формулювання цієї задачі визначимо, що слід розуміти під найкращою апроксимацією функції Y(t) на виході технічної системи. Багаторазове спрацьовування технічної системи при тривалому функціонуванні в приблизно однакових умовах створює множину подій, які мають статистичну однорідність, що забезпечує ймовірнісний характер наближення реалізованої функції Y(t) до заданої чи бажаної функції Y0(t).
Найкращим наближенням можна вважати таке, при якому ймовірність того, що різниця між заданою функцією Y0(t) та реалізованою Y(t) була б мінімальною:
Найкращим наближенням можна також вважати таке, при якому математичне сподівання абсолютної величини різниці між показниками заданої та реалізованої функцій було б мінімальним, тобто
Найбільш простим критерієм наближення реалізованої функції до заданої можна вважати такий, який забезпечує мінімум математичного сподівання квадрата цієї різниці
який може бути поданий у вигляді двох умов:
Дійсно, якщо показники випадкової функції Y(t) розподілені за нормальним законом, цей критерій задовольняє всі розглянуті вимоги, бо тоді різниця є також нормальною величиною із математичним сподіванням та дисперсією , а ймовірність того, що різниця показників перевищить задане значення , становитиме
де Ф(х) — інтегральна функція Лапласа.
Розглянемо задачу визначення функціональної точності технічної системи для випадку, коли її технічна функція характеризується одним показником у. Це може бути лінійний розмір при обробці (технічна система — металорізальний верстат), маса продукту при фасуванні (технічна система — дозатор) тощо. Необхідно визначити ймовірність того, що упродовж заданого часу функціонування технічної системи параметру не перевищить допустиму межу (в наведених прикладах технічної системи така межа задасться технічними вимогами на точність деталі чи на точність маси фасованого продукту). Якщо процес багаторазової реалізації показника технічної функції зобразити як випадкову функцію, то наша задача зведеться до відомої в теорії випадкових функцій задачі про викиди випадкової функції за заданий рівень.
Нехай Y(t) — диференційований випадковий процес найбільш загального вигляду. Нехай yM— задане максимальне значення ординати функції Y(t), викиди за яке є об’єктом дослідження.
Визначимо ймовірність того, що в нескінченно малому проміжкові часу dt, що безпосередньо настав після моменту часу t, відбудеться викид. Для цього необхідно, щоб відбулися дві події, а саме: в момент t ордината випадкової функції була б менше yM0 тобто y(t) < yM0 у момент (t+dt) ордината випадкової функції повинна бути більше yM0 тобто у(t+dt) > yM0 . Тоді ймовірність викиду в інтервалі часу dt запишеться як . Врахувавши диференційованість функції У(t), отримаємо
Тоді нерівність перетвориться як , що дає ймовірність викиду
У виразі використано двовимірний закон розподілу ординати випадкової функції та її похідної в один і той же момент часу t.
Оскільки інтервал інтегрування внутрішнього інтеграла дуже вузький, тобто дорівнює безмежно малому значенню v*dt, то на основі теореми про середнє отримаємо
Тоді ймовірність викиду визначиться як
де — ймовірність викиду за рівень yM в момент часу і, обчислена на одиницю часу, яку також називають часовою щільністю ймовірності викиду.
Аналогічно можна обчислити і часову щільність ймовірності перетину випадковою функцією рівня ym зверху вниз, яку позначимо як р(Ym). Тоді ймовірність викиду за верхню та нижню межі набуде вигляду
Як бачимо, ймовірність викиду в нескінченно малому інтервалі часу А пропорційна величині цього інтервалу. Для знаходження чисельних оцінок часових щільностей для ймовірностей викиду необхідно дослідити й побудувати модель процесу функціонування технічної системи для знаходження значень