2.6.5.Коефіцієнт використання багатоверстатної технологічної системи із врахуванням втрат часу на обслуговування
У цьому випадку враховуються простоювання та втрата продуктивності технологічної системи через очікування в черзі на технічне обслуговування. Основні труднощі при побудові моделі полягають в отриманні розміченого графа можливих станів.
Розглянемо як приклад технологічну систему із двох верстатів, які працюють незалежно один від одного. Цю систему обслуговує один наладчик. Інтенсивність відмови кожного верстата становить X.. Інтенсивність відновлення працездатності цих верстатів — ц. Можливі стани технологічної системи: S0 — обидва верстати працюють, а наладчик не зайнятий; S1 — один верстат зупинився і налагоджується; S2 — обидва верстати зупинились, наладчик зайнятий налагодженням одного із верстатів. Зобразимо граф можливих станів (рис. 2.17). Тоді система рівнянь Колмогорова для усталеного режиму функціонування технологічної системи набуде вигляду:
Якщо позначити через p коефіцієнт завантаження наладчика (в загальному випадку — апарату системи масового обслуговування), то він визначиться як відношення
Використавши це позначення, розв’яжемо систему рівнянь Колмогорова, що дає вираз для ймовірності перебування технологічної системи в стані S0 (обидва верстати працюють, а наладчик не зайнятий):
Ймовірність перебування технологічної системи в інших станах визначиться як
Середня завантаженість наладчика ремонтними роботами становитиме
а середнє число несправних верстатів відповідатиме кількості верстатів на обслуговуванні
Якщо розглянути вирази для ймовірностей станів технологічної системи, то в них у чисельнику є добуток усіх інтенсивностей, що стоять біля стрілок, які ведуть до i-го стану Si, а в знаменнику — добуток усіх інтенсивностей, що ведуть до вихідного стану S0. У загальному випадку ймовірність знаходження i-го стану Si технологічної системи
Тоді ймовірність перебування технологічної системи із необмеженою кількістю верстатів у стані, коли всі верстати працездатні, визначиться як
При моделюванні функціонування технологічної системи слід також враховувати, що вона належить до замкнутої системи масового обслуговування, тобто сама є джерелом замовлень на обслуговування (відмов). Тому інтенсивність потоку замовлень залежатиме від кількості верстатів у технологічній системі, наприклад, для системи із двох верстатів, інтенсивність відмови кожного з яких становить ?, інтенсивність переходу до стану Р1, становить 2?, оскільки може відмовити будь-який із цих верстатів.
Приклад. Нехай технологічна система включає 4 верстати, обслуговувані двома наладчиками. Кожен із верстатів виходить із ладу в середньому кожні 2 год., а тривалість його ремонту та налагодження 0,25 год. Визначити ймовірність перебування технологічної системи в стані, коли всі верстати справні, середнє число несправних верстатів, середнє завантаження одного наладчика.
Побудуємо розмічений граф станів технологічної системи, де врахуємо такі стани: S0 — всі верстати працездатні, S1 — один верстат вийшов із ладу і відновлюється, S2 — два верстати вийшли із ладу і обидва відновлюються, S3 — три верстати вийшли з ладу, два з яких відновлюються, S4 — чотири верстати вийшли з ладу, два з яких відновлюються (рис. 2.18). Тоді, враховуючи позначення на розміченому графі станів, маємо:
Ймовірність працездатного стану всіх верстатів визначиться як
Ймовірність перебування технологічної системи в інших станах:
Середня зайнятість одного наладчика
Середнє число несправних верстатів, тобто верстатів, які обслуговуються наладчиками та чекають у черзі на налагодження, визначиться як
