3.2.Статистичний аналіз точності функціонування технологічної системи

3.2.Статистичний аналіз точності функціонування технологічної системи

Під час дослідження точності функціонування дискретної техноло­гічної системи вивчається дія збурень на показник ефективності. В ре­зультаті дії збурень показник ефективності відхиляється від заданого значення, створюючи функціональну похибку. Найбільш відомими прик­ладами вивчення дії випадкових збурень на процес функціонування тех­нологічної системи є дослідження похибки виготовлення великої партії деталей, коли не можна передбачити величину відхилення від заданого параметра для конкретної деталі, що обробляється. Навіть на добре на­лагодженому верстаті деталь із параметром, що вийшов за межі поля допуску, з’являється непередбачувано. Можна тільки визначити ймовірність того, що параметр деталі не вийде за межі поля допуску. В загальному випадку виникають два типи практичних завдань дослід­ження технологічних систем.

До завдань першого типу належать такі, в яких на основі статистич­них даних оцінюються характеристики закону розподілу випадкової величини та прогнозуються очікувані значення математичного споді­вання, середнього квадратичного відхилення та ймовірності появи пев­них їх значень. Такі задачі трапляються при статистичному аналізі точ­ності технологічного процесу, при визначенні ймовірності безвідмов­ної роботи технологічної системи упродовж заданого відтинку часу тощо.

До завдань другого типу належить статистична перевірка вірогід­ності гіпотез, яка передбачає порівняння між собою сукупностей дослід­них даних, що стосуються різних випадкових величин. Такі завдання часто трапляються при перевірці доцільності проведення тих чи інших технологічних заходів, наприклад, ремонту обладнання, введення но­вих операцій, застосування нових пристроїв чи інструментів. Для їх розв’язання використовуються статистичні критерії узгодження. Ви­бирається міра відхилення експериментальних значень від теоретичних, за її допомогою знаходять теоретичний закон розподілу досліджуваної випадкової величини та обчислюють ймовірність прийняття випадко­вою величиною заданого значення. Точність опису випадкових явищ, що відбуваються при функціонуванні технологічних систем, забезпе­чується достатньо великою кількістю реалізацій. Ступінь відповідності теоретичного розподілу цим дослідним даним встановлюється шляхом перевірки гіпотези про вид закону розподілу. Визначають міру розход­ження статистичного розподілу та теоретичного, прийнятого за перевірюваною гіпотезою. Ця міра покладена в основу побудови статистич­них критеріїв узгодження.

Приклад функціонально-точнісного аналізу технологічної сис­теми механічної обробки. Під точністю технологічної системи для ме­ханічної обробки, або просто точністю механічної обробки, розуміють ступінь відповідності обробленою реального розміру заданому. Вплив факторів збурення призводить до відхилення реального значення роз­міру у від заданого значення [у]. Точність технологічної машини визна­чається двома показниками, які описують рівень її налагодження та ступінь розсіяння заданого показника. Для оцінки точності обробки необхідно порівняти дисперсію розсіяння реальних розмірів обробле­них деталей із величиною заданого поля допуску на цей розмір Ту. Окрім того, слід оцінити положення центра розсіяння відносно середини цьо­го поля допуску, тобто оцінити точність налагодження.

Статистичний аналіз точності обробки дає змогу правильно спроек­тувати технологічний процес, здійснити керування процесом обробки, визначити періодичність підналагоджень технологічного обладнання, обрати план технічного контролю виробів, визначити частку бракова­них виробів тощо.

Вихідні дані. Нехай безцентрово-шліфувальний автомат, який на­лагоджений на отримання розміру   обробляє безпе­рервним потоком валики, зовнішній діаметр яких вимірюється з точні­стю 0,001 мм. Для дослідження відібрано 100 деталей, розміри яких коливаються, як показали результати вимірювання, від максимального значення  до мінімального. Розмах поля розсіяння визначиться як їх різниця, тобто становитиме 0,130 мм. Для проведення статистичного аналізу точності необхідно перевірити спочатку гіпотезу про відповідність розподілу статистичних даних нор­мальному закону.

На першому етапі статистичного аналізу точності перевіримо, на­приклад, якщо рівень значущості гіпотезу про нормальність розподілу статистичних даних. Нехай випадкова величина — розмір у має розсіяння від максимального значення  до мінімального , тобто поле розсіяння визначиться як

Розіб’ємо поле розсіяння, на якому нанесено N експериментальних точок — оброблених розмірів, на k інтервалів  і підра­хуємо кількість розмірів n1, n2,nЗ,…nk, що потрапляють у кожен з них. Прийнявши гіпотезу про відповідність цього розподілу теоретичному закону F(у), визначимо теоретичну ймовірність потрапляння випадко­вої величини в кожен інтервал: Тоді теоретична кількість оброблених розмірів, що повинна потрапити в кожен з інтервалів, виз­начиться як

Як міра розходження між теоретичною та дійсною кількістю розмірів в кожному інтервалі обчислюється критерій ?2 Пірсона

Отримане значення критерію ?2 необхідно порівняти з табличним значенням, яке залежить від ступеня вільності f та рівня значущості ?.

Ступінь вільності

де r — кількість параметрів розподілу, обчислених за статистичними даними; для нормального закону розподілу, наприклад, їх буде два: ма­тематичне сподівання та дисперсія випадкової величини.

Якщо обчислене значення ?2 виявиться меншим ніж табличне

то гіпотеза про відповідність розподілу експериментальних даних тео­ретичному закону розподілу F(y) при заданому рівні значущості прий­мається, якщо ж ні — то відкидається. Рівень значущості ? — це ймовірність того, що неприйнята статистична гіпотеза виявиться пра­вильною, тобто ймовірність помилки, коли відкидається правильна гіпо­теза. Як звичайно, береться рівень значущості Якщо ? = 0,05, то при 100 перевірках гіпотези про відповідність закону розподілу нормальному, в 5 % випадків, тобто при п’яти перевірках пра­вильна гіпотеза буде відкинута. Мірою довіри до правильності гіпотези буде ймовірність прийняття правильної гіпотези, яка називається довір­чою ймовірністю і визначається як (1 - ?).

Розглянемо застосування критерію ?2 Пірсона при статистичному аналізі точності технологічної системи.

Розіб’ємо розмах поля розсіяння на k інтервалів так, щоб у кожному було не менше п’яти значень виміряних розмірів. Нехай k=7. Тоді дов­жина інтервалу  визначиться як

Результати вимірювань 100 деталей, рознесені по семи інтервалах, представлені в табл. 3.3. Щоб визначити теоретичну ймовірність по­трапляння розміру в певний інтервал рi та теоретичну кількість деталей в інтервалі Npi необхідно попередньо визначити за статистичними да­ними параметри нормального закону розподілу. Використавши дані, згруповані по інтервалах у табл. 3.3, матимемо:

де  — загальне середнє значення всієї вибірки;  — середнє значен­ня в i-му інтервалі.

Результати обчислення теоретичних ймовірностей і теоретичних ча­стот для кожного з інтервалів наведені в табл. 3.3. Статистичне значен­ня критерію ?2 Пірсона визначиться як

Враховуючи, що k = 7, а кількість параметрів закону розподілу, об­числених за статистичними даними, становить два (r = 2), визначимо ступінь вільності як

Тоді з табл. Д1 додатка для значень рівня значущості  та ступеня вільності f= 4 визначимо табличне значення Оскіль­ки виконується умова  то гіпотеза про нор­мальність розподілу значень оброблюваного розміру приймається.

На другому етапі статистичного аналізу точності визначають ко­ефіцієнт точності технологічної системи, коефіцієнт зміщення її нала­годження та комплексний показник точності. Прийнявши закон розподі­лу значень оброблених розмірів нормальним (за результатом перевірки за критерієм ?2 Пірсона), поле розсіяння визначиться як  У цьому випадку коефіцієнт точності технологічної системи

Коефіцієнт зміщення налагодження

Комплексний показник точності технологічної системи визначить­ся як

Значення коефіцієнта точності КT і комплексного показника точності Кс свідчать про можливість появи бракованих деталей із розмірами, що виходять за межі поля допуску.

На третьому етапі статистичного аналізу функціональної точності визначають відсоток бракованих деталей. Для цього використовується основна властивість кривої нормального розподілу: площа, обмежена кривою і віссю абсцис, відповідає ймовірності, що дорівнює одиниці. Якщо крива виходить за межі поля допуску, то відповідні частини площі кривої визначать ймовірність отримання бракованих деталей із розмі­рами, що вийшли за ці межі.

Враховуючи, що половина площі, обмеженої кривою нормального розподілу, відповідає ймовірності 0,5, то зручніше окремо визначати кількість бракованих деталей із розмірами, меншими від гранично до­пустимого, та кількість деталей із розмірами, більшими від гранично допустимого. Тоді кількість бракованих деталей у відсотках до загаль­ної кількості визначиться я