Мы говорили, что алгебраическими числами называют числа, являющиеся корнями уравнений
аохп + аіхп 1 + ... + о>Г1 — 0
с целыми коэффициентами. Числа же, не являющиеся корнями таких уравнений, называют трансцендентными.
В течение долгого времени математики имели дело лишь с алгебраическими числами, такими, как —, -^Ю, %/2 + -^3 и т.д. Лишь ценой больших усилий французскому математику Лиувиллю удалось найти в 1844 году несколько трансцендентных чисел. А доказательство трансцендентности числа п, проведенное Линдеманом в 1882 году, было большим научным событием: ведь из него следовала невозможность квадратуры круга.
И вдруг оказалось, что алгебраические числа, которые встречаются на каждом шагу, на самом деле являются величайшей редкостью, а трансцендентные числа, которые так трудно строить, — обычным правилом. В самом деле, мы уже видели, что алгебраические числа образуют лишь счетное множество. Множество же всех действительных чисел, как мы только что обнаружили, несчетно. Значит, несчетна и разность множества действительных чисел и множества алгебраических чисел, то есть множество трансцендентных чисел.
Это доказательство существования трансцендентных чисел, проведенное Г. Кантором в 1873 году, произвело большое впечатление на математиков. Ведь Кантору удалось доказать существование трансцендентных чисел, не строя ни одного конкретного примера таких чисел, а лишь исходя из общих соображений. Но то, что является достоинством доказательства Кантора, в то же время является и его слабой стороной.
Из теорем Лиувилля вытекает простой путь построения конкретных примеров трансцендентных чисел. Например, трансцендентным является число 0,1010010000001..., в котором после первой единицы