Большинство математических понятий прошло долгий путь развития. Первоначально они возникали как обобщение каких-то наглядных представлений, повседневного опыта. Постепенно из этих наглядных представлений путем отбрасывания частного и случайного выкристаллизовывались точные математические определения. Но часто оказывалось, что эти определения охватывают не только те объекты, изучение которых привело к формулировке данного определения, но и многие объекты, о которых раньше и не думали. Начиналось изучение этих новых объектов, переход к абстракции более высокого уровня, а потом на этой базе — расширение первоначально введенных определений. При этом в математические понятия вкладывался все более и более широкий смысл, они охватывали все более и более широкий круг объектов, получали все более разнообразные приложения.
Какой большой путь прошло, например, понятие числа от доисторических времен, когда умели считать лишь «один, два, много», до наших дней! Натуральные числа, дроби, отрицательные числа, комплексные числа, кватернионы, гиперкомплексные числа... И надо сказать, что не всегда новое обобщение того или иного понятия с восторгом встречалось всеми математиками. Например, долгое время не только комплексные, но даже отрицательные числа не признавались многими учеными за настоящие.
Сложный путь прошло и понятие функции. Идея зависимости некоторых величин восходит, по-видимому, к древнегреческой науке. Но там величины имели лишь геометрическую природу. Даже Ньютон, один из основателей математического анализа, при рассмотрении зависимых величин использовал геометрический язык. Хотя фактически понятием функции пользовались уже Ферма и Декарт, сам термин «функция» возник лишь в 1694 году в работах немецкого ученого Лейбница, делящего с Ньютоном заслугу создания математического анализа. Однако у Лейбница понятие функции имело очень узкий смысл и касалось только некоторых отрезков, зависящих от положения точки на кривой: ординаты, подкасательной и поднормали, радиуса кривизны и т. д. Таким образом, и Лейбниц оставался в круге геометрических представлений. Только ученик Лейбница И. Бернулли дал в 1718 году определение функции, свободное от геометрических образов: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Следующий шаг в развитии понятия функции связан с именем гениального ученика И. Бернулли петербургского академика Леонарда Эйлера. В своем «Дифференциальном исчислении» он определяет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями».
Однако понятие функции у Эйлера и математиков его времени было связано с возможностью выразить функцию формулой. С точки зрения математиков XVIII века запись
{
х, если х < 0, х2, если х ^ 0
определяла не одну, а две функции.
Вскоре выяснилось, что дело обстоит значительно сложнее. Решая задачу о колебании струны, Д. Бернулли получил ответ в виде так называемого тригонометрического ряда. Мы не будем сейчас говорить, что это такое, а скажем лишь, что форма струны задавалась единой формулой (хотя и содержавшей бесконечно много членов).
Ту же самую задачу о колебаниях струны решил французский ученый Даламбер. Решение Даламбера имело совсем иной вид, чем у Бернулли, и могло задаваться различными формулами для разных значений аргумента.
Перед математикой XVIII века возникло казавшееся неразрешимым противоречие: для одной и той же задачи получилось два ответа, причем один выражался для всех значений аргумента одной и той же формулой, а другой — несколькими формулами. Из-за этого решение Д. Бернулли было подвергнуто сомнению: думали, что он нашел не все решения задачи, а лишь решения, выражающиеся
одной формулой. Возник ожесточенный спор, в котором приняли участие все крупнейшие математики XVIII века — Эйлер, Далам-бер и др.
По сути дела, спор шел о понятии функции, о связи между функциональной зависимостью и возможностью выразить эту зависимость формулой. Окончательное решение вопроса было получено в начале XIX века, когда французский ученый Ж. Фурье показал, что сумма бесконечного ряда, состоящего из тригонометрических функций, может на различных участках выражаться различными формулами. После этого он дал новое определение функции, подчеркнув в нем, что главным является задание значений функции, а совершается ли это задание некоторой единой формулой или нет, несущественно.
Результаты Фурье были уточнены немецким математиком Дирихле, который показал, что графиком суммы тригонометрического ряда может быть любая, произвольно проведенная линия. Требуется лишь, чтобы число максимумов и минимумов на этой линии было конечным, и линия не поднималась бесконечно высоко. Дирихле же уточнил определение функции, данное Фурье, и придал ему тот вид, которым пользуются и сейчас (близкое определение несколько ранее Дирихле дали Лакруа, Лобачевский и некоторые другие математики). Определение Дирихле: «Переменная величина у называется функцией переменной величины ж, если каждому значению величины ж соответствует единственное определенное значение величины у».
В дальнейшем к словам «каждому значению величины ж» добавили слова «принадлежащему некоторому множеству» (ведь функция не обязательно определена для всех значений ж).
Это определение было чрезвычайно общим, в нем ни слова не говорилось о том, что функция должна задаваться одной и той же формулой на всем отрезке, где она определена. Более того, она могла совсем не задаваться какой-то формулой, а определяться словами. Например, сам Дирихле рассмотрел такую функцию:
если ж — иррациональное число,
если ж — рациональное число.
С точки зрения математиков XVIII века, это определение не задавало никакой функции, ведь не было дано формулы, по которой можно вычислить эту функцию. Тем не менее это определение
полностью задает функцию. (Теперь она называется функцией Дирихле .) Из него совершенно ясно, что, например,
f (3) =1, /(^2)=0.
По сути дела, определение Дирихле (с указанным уточнением) было окончательным для числовых функций числового аргумента. Дальнейшее развитие состояло в том, что стали рассматривать функции, заданные на произвольных множествах и принимающие значения также на произвольных множествах. Именно, пусть даны два множества А и В, и пусть каждому элементу а множества А поставлен в соответствие элемент Ь множества В. Тогда говорят, что задана функция на множестве А со значениями в множестве В. В столь общей формулировке понятие функции сливается с понятиями соответствия, отображения, преобразования.
Например, с этой точки зрения площадь треугольника есть функция, заданная на множестве всех треугольников и принимающая значения в множестве положительных чисел. А вписанная в треугольник окружность есть функция, заданная на множестве всех треугольников со значениями в множестве окружностей. Но мы не будем становиться здесь на столь общую точку зрения и ограничимся функциями, заданными на числовых множествах и принимающими числовые значения.