Создав теорию множеств, Кантор перешел к вопросу о том, что такое геометрическая фигура? Самый общий ответ на этот вопрос гласил: геометрическая фигура — это любое множество точек пространства. Если это множество лежит на плоскости, то получается
плоская геометрическая фигура. Но такой ответ был бы слишком общим — у фигур в этом смысле нет почти никаких достаточно интересных свойств.
Поэтому надо было в первую очередь ограничить совокупности изучаемых множеств, выделить из них те, которые ближе всего по своим свойствам к обычным геометрическим фигурам.
Чтобы выделить такой класс фигур, выясним, что общего имеют друг с другом обычные фигуры, такие, как квадрат, круг, отрезок прямой, астроида и т. д. Оказывается, все эти фигуры можно получить единообразным процессом.
Рассказывают, что знаменитый скульптор Роден на вопрос, как ему удается делать свои замечательные статуи, ответил: «Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее».
Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат, в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать надо не сразу, а постепенно, на каждом шаге отбрасывая кусочек, имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его граница — окружность — остается в фигуре.
На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигуры такого вида, как на рис. 56. Но все дело в том, что отбрасывают не один и не два круга, а счетное множество кругов. А с помощью счетного множества вырезаний можно получить любую фигуру. Для этого следует поступить так: взять все круги, у которых обе координаты центра и радиус рациональны. В силу теоремы на с. 70 множество таких кругов счетно. А теперь выбросим из плоскости все круги нашего множества, внутри которых нет ни одной точки геометрической фигуры.
Ясно, что после этого останется только сама эта геометрическая фигура. А число выброшенных кругов Рис. 56
не более чем счетно.
Впрочем, не обязательно выбрасывать круги. Вместо них можно удалять квадраты, прямоугольники, эллипсы, соблюдая лишь одно условие — внутренние точки отбрасываются, а граничные остаются.