Расскажем теперь точнее, как же определяется размерность геометрической фигуры по Урысону. Сначала выясним, что такое
множество размерности нуль. Типичным нульмерным множеством является множество, состоящее из одной точки или, в крайнем случае, из конечного числа точек. Но у каждой точки такого множества есть относительная окрестность с пустой границей — сама эта точка (см. рис. 66). Именно это свойство и принял Урысон за определение множества размерности нуль.
Точнее говоря, это определение звучит следующим образом.
Множество Г имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей.
В большинстве случаев удается установить, что множество имеет размерность нуль, построив для каждой точки сколь угодно малую обычную окрестность, граница которой не содержит ни одной точки множества Г (в этом случае граница относительной окрестности наверняка пуста). Но есть нульмерные множества, лежащие в трехмерном пространстве, для точек которых такие обычные окрестности построить нельзя.
Слова «сколь угодно малую» добавлены в это определение по следующей причине. Если бы их не было, то, например, для любого квадрата мы могли бы взять настолько большой круг, что весь квадрат очутился бы внутри этого круга и ни одна точка квадрата не попала бы на границу круга. И, не будь в определении этих слов, получилось бы, что размерность квадрата равна нулю, а не двум, как должно быть на самом деле.
Не только конечные, но и многие бесконечные множества имеют нулевую размерность. Возьмем, например, множество, состоя-
п 1 1 1 1
щее из точек на оси, имеющих координаты и, 1, ^, 3, ..., _, ... Ясно, что у любой точки этого множества есть сколь угодно малая окрестность, граница которой не содержит точек этого множества. Единственное сомнение может вызвать точка 0. Но если взять ее окрестность с радиусом а, где а — иррациональное число, то ни одна из точек множества не попадет на границу этой окрестности.
Нульмерно и множество Q точек на прямой с рациональными координатами. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве окрестности точки а на Q промежуток с центром в этой точке, длина которого иррациональна. Нульмерным является и канторово множество (см. с. 107), и множество, полученное из квадрата выбрасыванием крестов (см. с. 132), и многие другие множества.
Можно строить аналогичным образом и нульмерные множества не только на плоскости, но и в пространстве (при этом, конечно, окрестность точки понимается как окрестность в пространстве).
Определив множества размерности нуль, Урысон перешел к одномерным множествам, то есть линиям. Здесь уже нет маленьких окрестностей с пустой границей (см. рис. 69). Однако для обычных линий граница окрестности пересекается с самой линией лишь в нескольких точках. А множество, состоящее из конечного числа точек, имеет размерность нуль. Обобщая это замечание, Урысон следующим образом определил множества размерности единица.
Множество ^ имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна.
Оказалось, что не только все обычные линии (окружности, отрезки прямых, эллипсы и т. д.) имеют размерность единица по Урысону, но и все канторовы линии имеют ту же размерность. Поэтому можно было определить понятие не только плоской, но и пространственной линии:
Линией называется континуум размерности единица.
А теперь было уже ясно, как определять поверхности, трехмерные тела и вообще множества любой размерности. Поскольку Уры- сон дает сначала определение размерности 0, затем с помощью этого определения — определение размерности 1, затем точно так же — определение размерности 2 и т. д., введенное Урысоном общее определение размерности называют индуктивным.