Множество А состоит из целых чисел, делящихся на 4, множество В — из целых чисел, делящихся на 10, и множество С из целых чисел, делящихся на 75. Из каких чисел состоит множество АВС?
В библиотеке есть книги по разным отделам науки и искусства. Обозначим множество всех книг в библиотеке через А, а множество всех математических книг (не только в данной библиотеке) — через В. Охарактеризуйте множество А — В.
Пользуясь правилами алгебры множеств, упростите выражение (А + В + С)(А + В) - [А + (В - С)]А.
Множество А состоит из точек М(ж; у) плоскости, для которых |ж| ^ 4, |у| ^ 4, множество В — из точек плоскости, для которых ж2 + у2 ^ 25, и множество С — из точек плоскости, для которых ж > 0. Изобразите множество АВ - С.
Докажите равенства
а) (А - В) - С = (А - С) - (В - С);
б) (А - В) + (В - С) + (С - А) + АВС = А + В + С.
Докажите включения
а) АС + ВЯ с (А + В)(С + Я);
б) (В - С) - (В - А) с А - С;
в) А - С с (А - В) + (В - С).
Вытекает ли из А - В = С, что А = В + С?
Вытекает ли из А = В + С, что А - В = С?
Какие включения справедливы для множеств
а) А - (В + С) и (А - В) - С;
б) А +(В - С) и (А + В) - С;
в) (А - В)+ С и А +(С - В)?
Пользуясь соотношениями 1)—26) на с. 40, упростите выражение [(X - У)'(Х' + У')]'.
Установите взаимно однозначное соответствие между промежутком 0 < ж < 1 и всей числовой прямой.
Установите взаимно однозначное соответствие между числовыми множествами 0 ^ ж< 1 и 0 ^ ж< то.
13*. Установите взаимно однозначное соответствие между отрезком 0 ^ ж ^ 1 и промежутком 0 < ж < 1.
14. Постройте взаимно однозначное отображение отрезка 0 ^ х ^ 1 на всю числовую прямую.
15*. Постройте взаимно однозначное соответствие между множеством всех чисел отрезка 0 ^ х ^ 1 и множеством иррациональных чисел того же отрезка.
16*. Отобразите взаимно однозначно луч 0 ^ х < то на всю числовую прямую.
17. Установите взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и точками сферы, из которой выброшена одна точка.
18*. Установите взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и точками сферы.
Установите взаимно однозначное соответствие между точками открытого квадрата 0 <х< 1, 0 <у < 1 и точками плоскости.
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел отрезка 0 ^ х ^ 1 и множеством всех точек плоскости, обе координаты которых рациональны.
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех целых чисел и множеством всех квадратных трехчленов с целочисленными коэффициентами.
22*. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек плоскости.
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех квадратных трехчленов с действительными коэффициентами.
Какова мощность множества всех четырехугольников на плоскости, координаты всех вершин которых рациональны?
Какова мощность множества всех многоугольников на плоскости, координаты всех вершин которых рациональны?
Какова мощность множества всех выпуклых многогранников, координаты всех вершин которых рациональны?
Какова мощность множества всех рациональных функций с целочисленными коэффициентами в числителе и знаменателе?
Какова мощность множества всех многочленов, коэффициентами которых служат рациональные числа?
Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?
Какова мощность множества всех конечных последовательностей натуральных чисел?
Какова мощность множества всех возрастающих последовательностей натуральных чисел?
Какова мощность множества всех многочленов третьей степени с действительными коэффициентами?
Какова мощность множества всех многочленов с действительными коэффициентами?
Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе-ресекающихся окружностей?
Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе-ресекающихся букв Г? Букв Ы?
Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе- ресекающихся букв А? Букв Б?
Какова мощность множества всех действительных чисел, в десятичном разложении которых встречается цифра 7?
Какова мощность множества всех действительных чисел, в десятичном разложении которых не встречается цифра 5?
Какова мощность множества действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в десятичном разложении которых на втором месте стоит цифра 6 и больше эта цифра не встречается?
Докажите, что если А — В — В — А, то А — В (напомним, что А — В означает, что А и В имеют одинаковую мощность).
Докажите, что если А С В и А — А + С, то В — В + С.
Верно ли утверждение: «Если А — С, В — Б, причем А Э В, С Э Б, то А — В - С — Б»?
Верно ли утверждение: «Если А — В, С Э А и С Э В, то С — А — С — В»?
Перенумеруем все рациональные точки отрезка [0; 1]. Мы получим последовательность точек Г1, Г2, ..., гп, ... . Построим окрестность точки Г1, имеющую радиус 1/10, окрестность точки Г2, имеющую радиус 1/20, окрестность точки гз, имеющую радиус 1/40, и т. д. Сложим все построенные окрестности. Содержит ли полученное множество М весь отрезок?
Оцените длину множества М из задачи 44.
46*. Назовем счетномерным кубом множество всех последовательностей действительных чисел (х1, ...,хп, ...) таких, что 0 ^ хп ^ 1. Докажите, что множество точек счетномерного куба имеет мощность континуума.
47*. Постройте непрерывную функцию, имеющую на каждом отрезке бесконечно много максимумов и минимумов.
48*. Множество М состоит из точек отрезка [0; 1], которые можно представить в виде десятичных дробей, ни один десятичный знак которых не равен 3 и 8. Опишите, как получить это множество, последовательно выбрасывая из отрезка промежутки.
49*. Сделайте то же самое для точек, в десятичном разложении которых не встречается комбинация 38 (в указанном здесь порядке).
50*. Точка а называется предельной точкой для множества М, если в любой ее окрестности есть бесконечно много точек этого множества. Докажите, что все предельные точки канторова множества (см. с. 107) принадлежат этому множеству. Докажите, что и обратно, каждая точка канторова множества является для него предельной. То же самое сделайте для множеств из задач 48 и 49.
Докажите, что каждая точка отрезка [0; 1] является предельной для множества всех рациональных чисел таких, что 0 ^ г ^ 1.
Существуют ли предельные точки у множества целых чисел?
Докажите, что дополнение к любому открытому множеству на плоскости содержит все свои предельные точки.
Докажите, что если множество содержит все свои предельные точки, то его дополнение — открытое множество.
Приведите примеры таких множеств на плоскости, которые
а) не имеют граничных точек;
б) имеют граничные точки, причем ни одна из них не принадлежит множеству;
в) содержат все свои граничные точки;
г) целиком состоят из граничных точек;
д) содержат только часть своих граничных точек.
Приведите примеры множеств в пространстве со свойствами а)-д) из задачи 55.