загрузка...
 
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В КЛАССЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
Повернутись до змісту

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В КЛАССЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

Малютина Т.И., доцент, УАБД, г. Сумы;

Боженко О.А., аспирант, СумГУ, г. Сумы

Пусть  – уточненный порядок в смысле Валирона, . Обозначим через  класс целых функций типа не выше чем нормальный при , т.е. таких, что для функции  из этого класса существует константа  такая, что

                                          (1)

где , ,

Мы будем рассматривать задачу простой интерполяции в классе  при :

                                               (2)

когда все узлы  различные и имеют одну предельную точку – бесконечность. Неравенство (1) накладывает естественное ограничение на множество :

                                                            (3)

В настоящей работе мы приводим два критерия разрешимости задачи (2): в терминах канонического произведения и в терминах меры, определяемой узлами интерполяции.

Определение 1. Множество  называется интерполяционным в классе , если для любой последовательности чисел  удовлетворяющей условию (3), существует функция  со свойством (2).

Определение 2. Функция

называется каноническим произведением множества .

По заданному множеству  введём меру  равенством:

Через  будем обозначать открытый круг с центром в точке  радиуса ,

,

Обозначим через

Теперь мы в состоянии сформулировать теорему.

ТЕОРЕМА 1. Пусть счётное множество  различных точек комплексной плоскости с единственной точкой сгущения на бесконечности,  - уточнённый порядок такой, что  и функция  либо a) логарифмически выпуклая на оси , либо b) выполняется условие:

                           (4)

Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

множество  является интерполяционным в пространстве ;

каноническое произведение  множества  удовлетворяет условию:

;                                          (5)

выполняется соотношение:

,                                                  (6)

Заметим, что теорема верна и при . В этом случае эквивалентность условий 1) и 2) получена А.Ф. Леонтьевым [1], случай кратной интерполяции рассмотрен А.В. Братищевым и Ю.Ф. Коробейником [2], критерий 3) получен К.Г. Малютиным [4].

Список литературы

1. Леонтьев А.Ф. К вопросу об интерполяции в классе целых функций конечного порядка // Матем. сб. - 1957. (83). - С. 81-96.

2. Братищев A.В., Коробейник Ю.Ф.. Кратная интерполяционная задача в пространстве целых функций заданного уточненного порядка // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1976. 40(5). - С. 1102-1127.

3. Гришин А.Ф.,  Руссаковский А.М. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций, функцион. анализ и их прил. - 1985. 44. - С. 32-42.

4. Малютин К.Г. Интерполяция голоморфными функциями: дис. канд. физ.-мат. наук. - Харьков, - 1980. - 104с.

5. Малютин К.Г.,  Герасименко В.А. Cвободная интерполяция целыми функциями конечного гамма-типа // Математичнi Студiї. - 2007.  28(1). - С. 45-50.



загрузка...