ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В КЛАССЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
Малютина Т.И., доцент, УАБД, г. Сумы;
Боженко О.А., аспирант, СумГУ, г. Сумы
Пусть – уточненный порядок в смысле Валирона,. Обозначим через класс целых функций типа не выше чем нормальный при, т.е. таких, что для функции из этого класса существует константа такая, что
(1)
где,,
Мы будем рассматривать задачу простой интерполяции в классе при:
(2)
когда все узлы различные и имеют одну предельную точку – бесконечность. Неравенство (1) накладывает естественное ограничение на множество:
(3)
В настоящей работе мы приводим два критерия разрешимости задачи (2): в терминах канонического произведения и в терминах меры, определяемой узлами интерполяции.
Определение 1. Множество называется интерполяционным в классе, если для любой последовательности чисел удовлетворяющей условию (3), существует функция со свойством (2).
Определение 2. Функция
называется каноническим произведением множества.
По заданному множеству введём меру равенством:
Через будем обозначать открытый круг с центром в точке радиуса,
,
Обозначим через
Теперь мы в состоянии сформулировать теорему.
ТЕОРЕМА 1. Пустьсчётное множество различных точек комплексной плоскости с единственной точкой сгущения на бесконечности, - уточнённый порядок такой, что и функция либо a) логарифмически выпуклая на оси, либо b) выполняется условие:
(4)
Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
множество является интерполяционным в пространстве;
каноническое произведение множества удовлетворяет условию:
; (5)
выполняется соотношение:
, (6)
Заметим, что теорема верна и при. В этом случае эквивалентность условий 1) и 2) получена А.Ф. Леонтьевым [1], случай кратной интерполяции рассмотрен А.В. Братищевым и Ю.Ф. Коробейником [2], критерий 3) получен К.Г. Малютиным [4].
Список литературы
1. Леонтьев А.Ф. К вопросу об интерполяции в классе целых функций конечного порядка // Матем. сб. - 1957. (83). - С. 81-96.
2. Братищев A.В., Коробейник Ю.Ф.. Кратная интерполяционная задача в пространстве целых функций заданного уточненного порядка // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1976. 40(5). - С. 1102-1127.
3. Гришин А.Ф., Руссаковский А.М. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций, функцион. анализ и их прил. - 1985. 44. - С. 32-42.