КІНЕМАТИКА. Лекція 9

КІНЕМАТИКА. Лекція 9

Короткий зміст:  Введення в кінематику. Кінематика точки. Поняття траєкторії. Способи задання руху: векторний, координатний і природний. Швидкість точки при різних способах задання руху.

Введення. Кінематикою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються рухи матеріальних об'єктів, таких, як точка і тверде тіло, без розгляду причин, що викликають або змінюють цей рух. Таке вивчення руху матеріальних об'єктів не вимагає врахування матеріальних характеристик цих об'єктів - маси, моментів інерції та ін. Рух матеріальних об'єктів завжди відбувається в просторі відносно певної системи відліку і в часі.

Простір вважається тривимірним евклідовим простором, властивості якого не залежать від матеріальних об'єктів, що в ньому рухаються. Час у класичній механіці не пов'язаний із простором і рухом матеріальних об'єктів. У всіх системах відліку рухомих один відносно одного, він проходить однаково. В курсі теоретичної механіки кінематика ділиться на кінематику точки і кінематику твердого тіла.

Кінематика точки

У кінематиці точки розглядаються характеристики руху точки, такі, як швидкість і прискорення, і методи їх визначення при різних способах задання руху.

Траєкторією точки називається геометричне місце її послідовних положень в просторі з часом відносно даної системи відліку.

Форма траєкторії може бути прямолінійною або криволінійною і залежить від обраної  системи координат.

Приклад 1. З літака, що горизонтально летить відносно Землі, скинутий вантаж. Опір повітря відсутній.  Траєкторією центра мас вантажу відносно системи відліку Oxy, жорстко пов'язаною із Землею, буде парабола  ( рис. 1.1а).

Траєкторією центра мас вантажу відносно системи відліку O1x1y1, жорстко пов'язаною з літаком, що летить, буде пряма лінія. ( рис. 1.1б).

Приклад 2. Колесо радіусом R котиться по горизонтальній прямій без ковзання. Точка  А  на ободі колеса здійснює складний рух.

Траєкторією точки А відносно системи відліку Oxy, жорстко пов'язаною з прямою, буде крива під назвою циклоїда.

Траєкторією точки А відносно системи відліку O1x1y1, яка рухається поступально і початок відліку якої знаходиться в центрі мас колеса, буде коло радіусом R, центр якого знаходиться в точці O1.

Способи задання руху

Рух точки можна вивчати використовуючи будь-яку систему координат. Розглянемо три способи задання руху: векторний, координатний  і  природний.

Векторний спосіб

Розглядатимемо випадок декартової прямокутної системи координат. Рух точки відносно даної системи відліку заданий, якщо відомий радіус-вектор   цієї точки як функція часу,тобто

(1.1)

Векторний спосіб зазвичай застосовується для теоретичного викладу кінематики точки.

Координатний спосіб

Рух точки можна вивчати використовуючи будь-яку систему координат. Розглянемо випадок декартової прямокутної системи координат.

Рух точки задано, якщо відомі координати точки, як безперервні функції часу,тобто такі, що двічі диференціюються:

, , .

(1.2)

Рівняння руху є також рівняння траєкторії точки в параметричній формі. Параметром є час  t.

(1.3)

Рівняння траєкторії в координатній формі виходять з рівнянь (1-2) виключенням параметра t. Виходять рівняння двох поверхонь , . Пересічення цих поверхонь дає криву в просторі – траєкторію точки.

Природний спосіб задання руху

При природному способі задання руху задаються траєкторія точки і закон руху точки по траєкторії. Рух точки розглядається відносно фіксованої системи відліку.

Для задання закону руху точки по траєкторії необхідно вибрати на траєкторії точку О, що вважається початком відліку. Крім того, необхідно задати початок відліку часу:

,

закон руху точки по траєкторії.

Функція  має бути безперервною і такою,що двічі диференціюється.

Від задання руху в декартових координатах можна перейти до його задання природним способом. Закон руху точки по траєкторії в диференціальній формі через декартові координати виражається у вигляді

і після інтегрування – в кінцевій формі

,

якщо .

Швидкість точки

Однією з основних характеристик руху точки є її швидкість відносно вибраної системи відліку.

Швидкість точки при векторному способі задання руху

Положення точки, що рухається М відносно системи відліку у момент часу  , визначається радіусом - вектором .В інший момент часу  точка займе положення М1 з радіус-вектором . За час  радіусом - вектором точки, що рухається, зміниться на .

Середньою швидкістю  називається відношення зміни радіуса - вектора  до зміни часу:

..

(1.4)

Швидкість точки дорівнює першій похідній за часом від її радіус-вектора.

(1.5)

Швидкість точки при координатному способі

задання руху

Розкладемо радіус-вектор і швидкість на складові, паралельні осям координат. Отримаємо

. .

(1.6)

Після диференціювання

. (1.7)

Звідси випливає

                  ,

.

(1.8)

Проекція швидкості точки на яку-небудь координатну вісь дорівнює першій похідній за часом від відповідної координати цієї точки.

Модуль швидкості та напрямні косинуси дорівнюють:

,

       ,                    ,               .

Якщо точка рухається в площині, то, вибравши осі координат Ox і Oy в цій площині, отримаємо:

Для прямолінійного руху точки координатну вісь, наприклад вісь Ox, напрямляємо по траєкторії. Тоді

                

Швидкість точки при природному способі завдання руху

Нехай швидкість точки задана природним способом, тобто задані траєкторія точки і закон її руху по траєкторії .

Обчислимо швидкість точки.

Використаємо радіус-вектор  точки, що рухається, початок якого знаходиться в нерухомій точці  :

,

 – одиничний вектор, напрямлений по дотичній до траєкторії у бік зростаючих відстаней:

.

(1.9)

При  напрями векторів  та  збігаються. Якщо точка рухається у бік відстані, що зменшується, то  і напрями векторів  і  протилежні.

При  вектор швидкості спрямований по , тобто в бік зростаючих відстаней;при  він має напрям, протилежний ,тобто у бік зменшення відстаней.

 – алгебраїчна швидкість точки, проекція швидкості на позитивний напрям дотичній до траєкторії.

Природне задання руху точки повністю визначає швидкість за величиною і напрямом.