загрузка...
 
Лекція 12
Повернутись до змісту

Лекція 12

Короткий зміст: Задання кінематики твердого тіла. Види руху твердого тіла. Число ступенів свободи твердого тіла. Поступальний рух твердого тіла. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Кутова швидкість та кутове прискорення твердого тіла.

Кінематика твердого тіла

Абсолютно твердим тілом називається матеріальне тіло, геометрична форма якого і розміри не змінюються ні при яких механічних діях з боку інших тіл, а відстань між будь-якими двома його точками залишається постійною.

Кінематика твердого тіла,також як і динаміка твердого тіла,є одним з найбільш складних розділів курсу теоретичної механіки.

Задачі кінематики твердого тіла розпадаються на дві частини:

завдання руху і визначення кінематичних характеристик руху тіла в цілому;

визначення кінематичних характеристик (траєкторія, швидкість і прискорення) руху окремих точок тіла.

Існує п'ять видів руху твердого тіла:

поступальний рух;

обертання навколо нерухомої осі;

плаский рух;

обертання навколо нерухомої точки;

вільний рух.

Перші два називаються простими рухами твердого тіла:

Ступені свободи твердого тіла

Числом ступенів свободи твердого тіла називається число незалежних параметрів, які однозначно визначають положення тіла в просторі відносно даної системи відліку.

Рух твердого тіла багато в чому залежить від числа його ступенів свободи.

Розглянемо приклад. Якщо диск, не обертаючись, може ковзати уздовж нерухомої в даній системі відліку осі (рис.4.1а),то в даній системі відліку він, очевидно, володіє лише одним ступенем свободи – положення диска однозначно визначається,скажімо, координатою x його центра, відлічуваною вздовж осі. Але якщо диск, крім того, може ще і обертатися , то він набуває ще одного ступеня свободи – до координати x додається кут повороту ? диска навколо осі. Якщо вісь з диском затиснута в рамці, яка може повертатися довкола вертикальної осі , то число ступенів свободи дорівнює трьом – до x і ? додається кут повороту рамки ?.

Вільна матеріальна точка в просторі має три ступені свободи: наприклад декартові координати x, y і z. Координати точки можуть визначатись також в циліндричній (r, ?, z) і сферичній (r, ?, ?) системах відліку, але число параметрів, що однозначно визначають положення точки в просторі завжди три.

Матеріальна точка на  площині має два ступені свободи. Якщо в площині вибрати систему координат x Оy, то координати x і y визначають положення точки на площині, а координата z тотожно дорівнює нулю.

Вільна матеріальна точка на поверхні будь-якого вигляду має два ступені свободи. Наприклад: положення точки на поверхні Землі визначається двома параметрами: широтою і довготою.

Матеріальна точка на кривій будь-якого вигляду має один ступінь свободи. Параметром, що визначає положення точки на кривій, може бути, наприклад, відстань уздовж кривої від початку відліку.

Розглянемо дві матеріальні точки в просторі, сполучені жорстким стрижнем довжини l. Положення кожної точки визначається трьома параметрами, але на них накладена в'язь

Рівняння  є рівнянням в'язі. З цього рівняння будь-яка одна координата може бути виражена через останні п'ять координат (п'ять незалежних параметрів). Тому ці дві точки мають                () п'ять ступенів свободи.

Розглянемо три матеріальні точки в просторі, такі, що не лежать на одній прямій, сполучені трьома жорсткими стрижнями. Число ступенів свободи цих точок дорівнює () шести.

Вільне тверде тіло в загальному випадку має 6 ступенів свободи. Дійсно, положення тіла в просторі відносно якої-небудь системи відліку визначається завданням трьох його точок, таких, що не лежать на одній прямій, і відстані між точками в твердому тілі залишаються незмінними при будь-яких його рухах. Згідно з вище- сказаним, число ступенів свободи має дорівнює шести.

Поступальний рух твердого тіла

Поступальним рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому будь-яка пряма, що жорстко скріплена з тілом, залишається паралельною своєму первинному положенню в кожен момент часу.

Педалі велосипеда поступально рухаються відносно його рами під час руху, поршні в циліндрах двигуна внутрішнього згорання відносно циліндрів, кабіни колеса огляду в парках відносно Землі.

Траєкторії точок в тілі, що поступально рухаються можуть бути не лише прямими, але й кривими, у тому числі колами.

Теорема. При поступальному русі твердого тіла траєкторії, швидкості та прискорення всіх точок твердого тіла однакові.

Якщо обрати дві точки твердого тіла А і В, то радіуси-вектори цих точок пов’язані співвідношенням . Траєкторія точки А - це крива, котра задається функцією , а траєкторія точки В - це крива, котра задається функцією . Траєкторія точки В отримується переносом траєкторії точки А в просторі вздовж вектора. Отже, траєкторії всіх точок твердого тіла однакові.

Продиференціюємо за часом вираз .

Отримуємо , оскільки . Продиференціюємо за часом швидкості та отримаємо вирази .

Отже, швидкості і прискорення всіх точок твердого тіла однакові що і потрібно було довести.

Поступальний рух твердого тіла повністю характеризується рухом однієї будь-якої його точки.

Тверде тіло при поступальному русі має три ступені свободи.

Для задання руху твердого тіла в декартовій системі координат досить знати координати  будь-якої його точки.

Функції  називаються рівняннями поступального руху твердого тіла.

Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

Обертанням твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому дві точки тіла залишаються нерухомими впродовж усього часу руху. При цьому також залишаються нерухомими всі точки тіла, розташовані на прямій, що проходить через його нерухомі точки. Ця пряма називається віссю обертання тіла.

Нехай точки A і B нерухомі.  Вздовж осі обертання напрямимо вісь . Через вісь обертання проведемо нерухому площину  і рухому , скріплену з тілом, що обертається  (при                 ).

Положення площини  і самого тіла визначається  двогранним кутом між плоскістю  і . Позначимо його . Кут  називається кутом повороту тіла.

Положення тіла відносно вибраної системи відліку однозначно визначається у будь-який момент часу, якщо задано рівняння , де  будь - яка двічі диференційована функція часу. Це рівняння називається рівнянням обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

У тіла, що здійснює обертання навколо нерухомої осі, один ступінь свободи, оскільки його положення визначається заданням лише одного параметра – кута .

Кут  вважається позитивним, якщо він відкладається проти годинникової стрілки, і негативним – у протилежному напрямі.  Траєкторії точок тіла при його обертанні навколо нерухомої осі є колами, розташованими в площині перпендикулярних осі обертання.

Для характеристики обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі введемо поняття кутової швидкості і кутового прискорення.

Алгебраїчною кутовою швидкістю тіла в будь - який момент часу називається перша похідна за часом від кута повороту у цей момент, тобто .

Кутова швидкість є позитивною величиною при обертанні тіла проти годинникової стрілки, оскільки кут повороту зростає з часом, і негативною – при обертанні тіла за годинниковою стрілкою, тому що кут повороту при цьому спадає.

Розмірність кутової швидкості за визначенням:  .

У техніці кутова швидкість – це частота обертання, виражена в обертах за хвилину.  За одну хвилину тіло обернеться на кут, де n – число обертів за хвилину.  Розділивши цей кут на число секунд за хвилину, отримаємо

.

Алгебраїчним кутовим прискоренням тіла називається перша похідна за часом від кутової швидкості, тобто друга похідна від кута повороту, тобто .

Розмірність кутового прискорення за визначенням:  .

Введемо поняття векторів кутової швидкості та кутового прискорення тіла.              і , де  – одиничний вектор осі обертання. Вектори  і  можна зображувати в будь-яких точках осі обертання, вони є ковзними векторами.

 

Кутова алгебраїчна швидкість – це проекція вектора кутової швидкості на вісь обертання. Кутове алгебраїчне прискорення це проекція вектора кутового прискорення швидкості на вісь обертання.

Якщо  при , то алгебраїчна кутова швидкість зростає з часом і, отже, тіло обертається прискорено в даний момент часу в позитивний бік. Напрями векторів  і  збігаються, отже обидва вони напрямлені в позитивний бік осі обертання .

При  і  тіло обертається прискорено в негативний бік. Напрями векторів  і  збігаються, обидва вони направлені в негативний бік осі обертання .

Якщо  при , то маємо сповільнене обертання в позитивний бік. Вектори  і  напрямлені в протилежні боки.

Якщо  при , то маємо сповільнене обертання в негативний бік. Вектори  і  напрямлені в протилежні боки.

Кутову швидкість і кутове прискорення на рисунках зображують дуговими стрілками навколо осі обертання (якщо не можна зобразити вектори). Дугова стрілка для кутової швидкості вказує напрям обертання тіла, а дугова стрілка для кутового прискорення – напрям, в якому збільшується кутова алгебраїчна швидкість. Для прискореного обертання дугові стрілки для кутової швидкості та кутового прискорення мають однакові напрями, для сповільненого їхні напрями протилежні.

Окремі випадки обертання твердого тіла

Рівномірне обертання

Обертання називається рівномірним, якщо його кутова швидкість постійна, тобто .

Оскільки , то . Початкові умови: ,  то після інтегрування отримаємо :

                 або  ,

.

Рівнозмінюване обертання

Обертання називається рівноприскореним, якщо його кутове прискорення постійне і більше нуля, тобто .

Обертання називається рівносповільненим, якщо його кутове прискорення  постійне і менше нуля, тобто .

Оскільки , то . Початкові умови: ,  то після інтегрування отримаємо:

 або 

,

далі  ,     і після інтегрування:

а  .



загрузка...