Одержимо чисельний розв’язок рівняння (1.1) для простої ситуації. Для області довжиною визначимо граничні умови:
при ; (1.14)
при . (1.14а)
Далі використовуватимемо такі задані величини:
. (1.15)
Рисунок 1.3 - Рівномірна сітка з шістьма розрахунковими точками
Дискретні рівняння. Для цього простого прикладу використовуватимемо рівномірну сітку з , яка показана на рис. 1.3. Температури на границях областей і відомі (див. (1.15)):
. (1.16)
Для внутрішніх розрахункових точок 2 - 5 можна записати дискретні аналоги у формі (1.13). Отже, використовуючи значення заданих величин (див. (1.15)), одержуємо
; (1.17)
; (1.18)
; (1.19)
. (1.20)
Необхідно помітити, що температури на границях областей і мають відомі значення згідно з (1.16).
Розв’язання алгебраїчних рівнянь. Залишилося тільки розв’язати рівняння (1.17) - (1.20) для невідомих температур. Оскільки ці рівняння записані в спеціальній формі, то може бути застосований простий метод розв’язання.
Для початку запишемо рівняння (1.17) у вигляді
. (1.21)
Підставивши вираз (1.21) в (1.18), одержимо
, (1.22)
звідси
. (1.23)
При використанні виразу (1.23) з рівняння (1.19) маємо
. (1.24)
Нарешті, підставивши вираз (1.24) в рівняння (1.20), одержимо
. (1.25)
Оскільки в рівнянні (1.25) невідомим залишається тільки , знайдемо цю температуру:
. (1.26)
Якщо використовуємо це значення в рівнянні (1.24), то одержимо ; потім з виразу (1.23) знайдемо і з виразу (1.22) - . Таким чином, чисельний розв’язок задачі має такий вигляд:
(1.27)
Метод, застосований тут, є необхідним засобом розв’язання системи алгебраїчних рівнянь.
Порівняння з точним розв’язком. Одержавши чисельний розв’язок, цікаво порівняти його з точним. Рівняння (1.1) може бути розв’язане для сталих , і граничних умов (1.14):
. (1.28)
Підставивши значення, дані в (1.15), одержимо
. (1.29)
Цей вираз може бути використаний для знаходження точних значень при х = 2, ..., 5 відповідно. З даного окремого випадку випливає, що точні значення, які знайдені за виразом (1.29), збігаються з поданим чисельним розв’язком (див. (1.27)).
Такий чудовий збіг трапляється досить рідко і має місце тільки в деяких простих задачах. Проте корисно усвідомлювати, що іноді чисельний розв’язок не приводить до похибок навіть при використанні невеликого числа розрахункових точок. У розглянутій тут задачі точний розподіл температури є параболічною функцією згідно з (1.29). Заміщення її кусково-лінійною функцією є чистою апроксимацією. Але трапилося так, що вирази (1.10) і (1.11) для градієнтів температури, які одержані за допомогою цього профілю, коректні і для градієнтів при параболічній зміні температури. Цей випадковий збіг в представленій задачі робить наш чисельний розв’язок ідентичним точному.
У загальному випадку чисельний розв’язок, одержаний тільки при невеликому числі розрахункових точок, даватиме деяку похибку в порівнянні з точним розв’язком. Якщо збільшувати число розрахункових точок, то ця похибка зменшуватиметься. На деякому етапі похибка стане настільки маленькою, що подальше збільшення числа точок буде дуже незначно змінювати розв’язок. У такому разі чисельний розв’язок може розглядатися для будь-яких практичних цілей як точний. Для багатьох задач, що не мають аналітичного розв’язання, чисельний розв’язок можна також розглядати як достатньо точний у випадку, якщо при подальшому збільшенні числа розрахункових точок він не змінюється.