загрузка...
 
1.2.2. Показовий приклад
Повернутись до змісту

1.2.2. Показовий приклад

Одержимо чисельний розв’язок рівняння (1.1) для простої ситуації. Для області довжиною  визначимо граничні умови:

   при ;                             (1.14)

   при .                           (1.14а)

Далі використовуватимемо такі задані величини:

.                    (1.15)

Рисунок 1.3 - Рівномірна сітка з шістьма розрахунковими точками

Дискретні рівняння. Для цього простого прикладу використовуватимемо рівномірну сітку з , яка показана на рис. 1.3. Температури на границях областей  і  відомі (див. (1.15)):

.                     (1.16)

Для внутрішніх розрахункових точок 2 - 5 можна записати дискретні аналоги у формі (1.13). Отже, використовуючи значення заданих величин (див. (1.15)), одержуємо

;                              (1.17)

;                         (1.18)

;                          (1.19)

.                            (1.20)

Необхідно помітити, що температури на границях областей  і  мають відомі значення згідно з (1.16).

Розв’язання алгебраїчних рівнянь. Залишилося тільки розв’язати рівняння (1.17) - (1.20) для невідомих температур. Оскільки ці рівняння записані в спеціальній формі, то може бути застосований простий метод розв’язання.

Для початку запишемо рівняння (1.17) у вигляді

.                                (1.21)

Підставивши вираз (1.21) в (1.18), одержимо

,                         (1.22)

звідси

.                                (1.23)

При використанні виразу (1.23) з рівняння (1.19) маємо

.                                (1.24)

Нарешті, підставивши вираз (1.24) в рівняння (1.20), одержимо

.                          (1.25)

Оскільки в рівнянні (1.25) невідомим залишається тільки , знайдемо цю температуру:

.                                       (1.26)

Якщо використовуємо це значення  в рівнянні (1.24), то одержимо ; потім з виразу (1.23) знайдемо  і з виразу (1.22) - . Таким чином, чисельний розв’язок задачі має такий вигляд:

             (1.27)

Метод, застосований тут, є необхідним засобом розв’язання системи алгебраїчних рівнянь.

Порівняння з точним розв’язком. Одержавши чисельний розв’язок, цікаво порівняти його з точним. Рівняння (1.1) може бути розв’язане для сталих ,  і граничних умов (1.14):

.           (1.28)

Підставивши значення, дані в (1.15), одержимо

.                                (1.29)

Цей вираз може бути використаний для знаходження точних значень  при х = 2, ..., 5 відповідно. З даного окремого випадку випливає, що точні значення, які знайдені за виразом (1.29), збігаються з поданим чисельним розв’язком (див. (1.27)).

Такий чудовий збіг трапляється досить рідко і має місце тільки в деяких простих задачах. Проте корисно усвідомлювати, що іноді чисельний розв’язок не приводить до похибок навіть при використанні невеликого числа розрахункових точок. У розглянутій тут задачі точний розподіл температури є параболічною функцією згідно з (1.29). Заміщення її кусково-лінійною функцією є чистою апроксимацією. Але трапилося так, що вирази (1.10) і (1.11) для градієнтів температури, які одержані за допомогою цього профілю, коректні і для градієнтів при параболічній зміні температури. Цей випадковий збіг в представленій задачі робить наш чисельний розв’язок ідентичним точному.

У загальному випадку чисельний розв’язок, одержаний тільки при невеликому числі розрахункових точок, даватиме деяку похибку в порівнянні з точним розв’язком. Якщо збільшувати число розрахункових точок, то ця похибка зменшуватиметься. На деякому етапі похибка стане настільки маленькою, що подальше збільшення числа точок буде дуже незначно змінювати розв’язок. У такому разі чисельний розв’язок може розглядатися для будь-яких практичних цілей як точний. Для багатьох задач, що не мають аналітичного розв’язання, чисельний розв’язок можна також розглядати як достатньо точний у випадку, якщо при подальшому збільшенні числа розрахункових точок він не змінюється.



загрузка...